Номер 284, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 284, страница 87.

Условие.

284. Сравните значение выражения $ (1+\frac{1}{5})^5 $ с числом:

а) 2;

б) 3.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Сравним значение выражения $(1 + \frac{1}{5})^5$ с числом 2.

Для этого сначала упростим выражение в скобках: $1 + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.

Теперь необходимо возвести полученную дробь в пятую степень: $(\frac{6}{5})^5 = \frac{6^5}{5^5}$.

Вычислим отдельно числитель и знаменатель: $6^5 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 7776$. $5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125$.

Таким образом, значение выражения равно $\frac{7776}{3125}$.

Теперь сравним эту дробь с числом 2. Для этого приведем 2 к дроби со знаменателем 3125: $2 = \frac{2 \cdot 3125}{3125} = \frac{6250}{3125}$.

Сравним числители полученных дробей: $7776 > 6250$.

Следовательно, $\frac{7776}{3125} > \frac{6250}{3125}$, что означает $(1 + \frac{1}{5})^5 > 2$.

Также можно было воспользоваться неравенством Бернулли $(1+x)^n > 1+nx$ для $x > 0$ и $n > 1$. В нашем случае $x = \frac{1}{5}$ и $n = 5$: $(1+\frac{1}{5})^5 > 1 + 5 \cdot \frac{1}{5} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $(1 + \frac{1}{5})^5 > 2$.

б) Сравним значение выражения $(1 + \frac{1}{5})^5$ с числом 3.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $(1 + \frac{1}{5})^5 = \frac{7776}{3125}$.

Чтобы сравнить эту дробь с числом 3, приведем 3 к дроби со знаменателем 3125: $3 = \frac{3 \cdot 3125}{3125} = \frac{9375}{3125}$.

Теперь сравним числители: $7776 < 9375$.

Следовательно, $\frac{7776}{3125} < \frac{9375}{3125}$, что означает $(1 + \frac{1}{5})^5 < 3$.

Также можно отметить, что последовательность $a_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ возрастает и стремится к числу Эйлера $e \approx 2.718...$. Значит, для любого конечного $n$ выполняется неравенство $(1 + \frac{1}{n})^n < e$. В нашем случае $n=5$, поэтому $(1 + \frac{1}{5})^5 < e$. Так как $e < 3$, то и $(1 + \frac{1}{5})^5 < 3$.

Ответ: $(1 + \frac{1}{5})^5 < 3$.