Номер 277, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 277, страница 86.

Условие.

277. Четвертый биномиальный коэффициент в разложении $(x+y)^{12}$ равен $p$. Укажите номер еще одного члена разложения этого бинома с таким же коэффициентом.

Решение.

Решение 2 (rus).

Общий вид разложения бинома Ньютона для $(x+y)^n$ записывается формулой: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – это биномиальные коэффициенты.

Член разложения, стоящий на $(k+1)$-м месте, имеет коэффициент $C_n^k$. В данном случае у нас разложение $(x+y)^{12}$, значит, $n=12$.

По условию, четвертый биномиальный коэффициент равен $p$. Номер члена разложения $m=4$. Это соответствует значению индекса $k = m-1 = 4-1 = 3$. Таким образом, биномиальный коэффициент четвертого члена равен $C_{12}^3$.

Для биномиальных коэффициентов справедливо свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Используя это свойство для $n=12$ и $k=3$, мы можем найти другой коэффициент, равный данному:
$C_{12}^3 = C_{12}^{12-3} = C_{12}^9$.

Следовательно, член разложения с коэффициентом $C_{12}^9$ также будет иметь коэффициент, равный $p$.
Номер этого члена $m$ определяется по его индексу $k=9$ как $m = k+1$.
$m = 9+1=10$.

Таким образом, десятый член разложения имеет такой же коэффициент, что и четвертый.

Ответ: 10.