Номер 275, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 275, страница 86.

Условие.

275. Чему равно число слагаемых в разложении бинома:

а) $(a - b)^{10}$;

б) $(x + y)^k$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для определения числа слагаемых в разложении бинома используется формула бинома Ньютона. В общем виде разложение бинома $(x+y)^n$ на сумму слагаемых выглядит следующим образом:

$(x+y)^n = \sum_{i=0}^{n} C_n^i x^{n-i} y^i = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1} y^1 + C_n^2 x^{n-2} y^2 + \dots + C_n^n x^0 y^n$

где $n$ — показатель степени (целое неотрицательное число), а $C_n^i = \frac{n!}{i!(n-i)!}$ — это биномиальные коэффициенты.

Из формулы видно, что разложение представляет собой сумму, в которой индекс $i$ последовательно принимает все целые значения от $0$ до $n$. Общее количество таких значений составляет $n - 0 + 1 = n+1$.

Каждому значению индекса $i$ соответствует одно слагаемое. Так как все биномиальные коэффициенты $C_n^i$ для $i$ в диапазоне от $0$ до $n$ не равны нулю, и все слагаемые имеют уникальные степени переменных (если переменные различны и не равны нулю), то никакие слагаемые не сокращаются и не приводятся. Следовательно, число слагаемых в разложении бинома $(x+y)^n$ всегда равно $n+1$.

а) В данном случае мы имеем бином $(a-b)^{10}$.

Это выражение можно записать как $(a + (-b))^{10}$. Показатель степени здесь $n=10$.

Используя общее правило, количество слагаемых в разложении будет равно $n+1$.

Подставляем наше значение $n=10$:

Число слагаемых = $10 + 1 = 11$.

Ответ: 11.

б) Теперь рассмотрим бином $(x+y)^k$.

В этом выражении показатель степени бинома $n$ равен $k$. Предполагается, что $k$ является целым неотрицательным числом, что является стандартным условием для применения формулы бинома Ньютона.

Применяя то же самое правило, мы можем определить число слагаемых как $n+1$.

Подставляем $n=k$:

Число слагаемых = $k + 1$.

Ответ: $k+1$.