Номер 278, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 278, страница 86.

Условие.

278. Найдите сумму биномиальных коэффициентов разложения:

a) $(c+1)^{10};$

б) $(x+y)^{11}.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения суммы биномиальных коэффициентов воспользуемся свойством бинома Ньютона. Общая формула разложения бинома $(a+b)^n$ имеет вид:
$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n}b^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$.

Биномиальные коэффициенты — это числа $\binom{n}{k}$. Чтобы найти их сумму, необходимо в формулу бинома подставить значения $a=1$ и $b=1$. При такой подстановке левая часть формулы становится $(1+1)^n = 2^n$, а правая часть превращается в сумму биномиальных коэффициентов, так как все множители $a^{n-k}b^k$ становятся равными 1.

Таким образом, получаем общее правило: сумма биномиальных коэффициентов для разложения степени $n$ всегда равна $2^n$.
$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$.

Применим это правило к данным в задаче выражениям.

а) Для разложения $(c + 1)^{10}$ степень бинома $n=10$.
Следовательно, сумма биномиальных коэффициентов равна $2^{10}$.
$2^{10} = 1024$.
Ответ: 1024.

б) Для разложения $(x + y)^{11}$ степень бинома $n=11$.
Следовательно, сумма биномиальных коэффициентов равна $2^{11}$.
$2^{11} = 2 \times 2^{10} = 2 \times 1024 = 2048$.
Ответ: 2048.