Номер 280, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 280, страница 86.

Условие.

280. Укажите номер члена разложения бинома, не содержащий переменной:

а) $(x+x^{-1})^6$;

б) $\left(\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^4$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для нахождения члена разложения бинома $(x + x^{-1})^6$, не содержащего переменной, воспользуемся формулой $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В нашем случае $a = x$, $b = x^{-1}$ и $n = 6$. Подставим эти значения в формулу:

$T_{k+1} = C_6^k (x)^{6-k} (x^{-1})^k$

Упростим выражение, содержащее переменную $x$:

$(x)^{6-k} (x^{-1})^k = x^{6-k} \cdot x^{-k} = x^{6-2k}$

Член разложения не содержит переменную, если показатель степени переменной равен нулю. Следовательно, нам нужно решить уравнение:

$6 - 2k = 0$

Решая уравнение, получаем:

$2k = 6$

$k = 3$

Номер члена в разложении равен $k+1$. Поскольку $k=3$, номер искомого члена равен $3+1=4$.

Ответ: 4.

б)

Рассмотрим разложение бинома $(\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}})^4$.

Снова воспользуемся формулой $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона.

В данном случае первый член бинома $A = \sqrt{\frac{a}{b}} = a^{1/2}b^{-1/2}$, второй член $B = -\sqrt{\frac{b}{a}} = -b^{1/2}a^{-1/2}$, а степень $n=4$.

Общий член разложения имеет вид:

$T_{k+1} = C_4^k (a^{1/2}b^{-1/2})^{4-k} (-b^{1/2}a^{-1/2})^k$

Выделим часть, содержащую переменные $a$ и $b$, и упростим ее. Множитель $(-1)^k$ не влияет на степени переменных.

$(a^{1/2}b^{-1/2})^{4-k} (b^{1/2}a^{-1/2})^k = (a^{\frac{4-k}{2}} b^{-\frac{4-k}{2}}) (b^{\frac{k}{2}} a^{-\frac{k}{2}})$

Сгруппируем степени для каждой переменной:

$a^{\frac{4-k}{2} - \frac{k}{2}} b^{-\frac{4-k}{2} + \frac{k}{2}} = a^{\frac{4-2k}{2}} b^{\frac{-4+2k}{2}} = a^{2-k} b^{k-2}$

Чтобы член разложения не содержал переменных, показатели степеней при $a$ и $b$ должны быть равны нулю:

$2-k = 0$ и $k-2=0$

Оба уравнения дают один и тот же результат: $k=2$.

Номер члена в разложении равен $k+1$. При $k=2$, номер искомого члена равен $2+1=3$.

Ответ: 3.