Номер 276, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 276, страница 86.

Условие.

276. Какова сумма показателей степеней переменных 25-го члена разложения $(a - b)^{36}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи воспользуемся свойством разложения бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона для выражения $(x+y)^n$ имеет вид:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$

Общий вид $(k+1)$-го члена этого разложения ($T_{k+1}$) следующий:

$T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$

В этом члене переменными являются $x$ и $y$. Их показатели степеней равны $n-k$ и $k$ соответственно. Сумма показателей степеней в любом члене разложения равна:

$(n-k) + k = n$

Таким образом, для любого члена разложения бинома $(x+y)^n$ сумма показателей степеней переменных всегда постоянна и равна степени бинома $n$.

В нашем случае дано выражение $(a - b)^{36}$. Здесь степень бинома $n=36$. Следовательно, сумма показателей степеней переменных $a$ и $b$ в любом члене разложения, включая 25-й, будет равна 36.

Для проверки можно найти показатели степеней непосредственно для 25-го члена. Для 25-го члена имеем $k+1 = 25$, откуда $k=24$. Тогда переменная часть этого члена будет $a^{36-24}b^{24} = a^{12}b^{24}$. Сумма показателей степеней равна $12 + 24 = 36$, что подтверждает общий вывод.

Ответ: 36