Номер 272, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 272, страница 86.

Условие.

272. Запишите разложение бинома:

а) $(a+1)^6$;

б) $(1-b)^7$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для разложения бинома используется формула бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальные коэффициенты.

а)

Требуется разложить $(a+1)^6$. В данном случае $x=a$, $y=1$ и $n=6$.

Формула разложения будет выглядеть так:

$(a+1)^6 = C_6^0 a^6 \cdot 1^0 + C_6^1 a^5 \cdot 1^1 + C_6^2 a^4 \cdot 1^2 + C_6^3 a^3 \cdot 1^3 + C_6^4 a^2 \cdot 1^4 + C_6^5 a^1 \cdot 1^5 + C_6^6 a^0 \cdot 1^6$

Так как любая степень единицы равна единице, формула упрощается до:

$(a+1)^6 = C_6^0 a^6 + C_6^1 a^5 + C_6^2 a^4 + C_6^3 a^3 + C_6^4 a^2 + C_6^5 a + C_6^6$

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты $C_6^k$:

$C_6^0 = \frac{6!}{0!(6-0)!} = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1 \cdot 5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем:

$C_6^4 = C_6^2 = 15$

$C_6^5 = C_6^1 = 6$

$C_6^6 = C_6^0 = 1$

Подставим найденные коэффициенты в формулу разложения:

$(a+1)^6 = 1 \cdot a^6 + 6 \cdot a^5 + 15 \cdot a^4 + 20 \cdot a^3 + 15 \cdot a^2 + 6 \cdot a + 1$

Ответ: $(a+1)^6 = a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 6a + 1$

б)

Требуется разложить $(1-b)^7$. В данном случае $x=1$, $y=-b$ и $n=7$.

Формула разложения будет выглядеть так:

$(1-b)^7 = \sum_{k=0}^{7} C_7^k 1^{7-k} (-b)^k = C_7^0 1^7 (-b)^0 + C_7^1 1^6 (-b)^1 + C_7^2 1^5 (-b)^2 + C_7^3 1^4 (-b)^3 + C_7^4 1^3 (-b)^4 + C_7^5 1^2 (-b)^5 + C_7^6 1^1 (-b)^6 + C_7^7 1^0 (-b)^7$

Так как $1$ в любой степени равен $1$, а $(-b)^k$ равно $b^k$ при четном $k$ и $-b^k$ при нечетном $k$, знаки в разложении будут чередоваться. Формула принимает вид:

$(1-b)^7 = C_7^0 - C_7^1 b + C_7^2 b^2 - C_7^3 b^3 + C_7^4 b^4 - C_7^5 b^5 + C_7^6 b^6 - C_7^7 b^7$

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты $C_7^k$:

$C_7^0 = \frac{7!}{0!(7-0)!} = 1$

$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = 7$

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем:

$C_7^4 = C_7^3 = 35$

$C_7^5 = C_7^2 = 21$

$C_7^6 = C_7^1 = 7$

$C_7^7 = C_7^0 = 1$

Подставим найденные коэффициенты в формулу разложения:

$(1-b)^7 = 1 - 7b + 21b^2 - 35b^3 + 35b^4 - 21b^5 + 7b^6 - 1 \cdot b^7$

Ответ: $(1-b)^7 = 1 - 7b + 21b^2 - 35b^3 + 35b^4 - 21b^5 + 7b^6 - b^7$