Номер 268, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 268, страница 81.

Условие.

268. Найдите все значения $n$, при которых верно неравенство:

a) $C_n^5 < C_n^3$;

б) $C_4^{n-1} > 2C_4^n$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дано неравенство $C_n^5 < C_n^3$.

Число сочетаний $C_n^k$ определяется формулой $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и имеет смысл для целых неотрицательных чисел $n$ и $k$ при условии $n \ge k$.

Для того чтобы выражения $C_n^5$ и $C_n^3$ были определены, необходимо, чтобы выполнялись условия $n \ge 5$ и $n \ge 3$. Объединяя эти условия, получаем область допустимых значений (ОДЗ) для $n$: $n$ - целое число и $n \ge 5$.

Запишем неравенство, используя формулу для числа сочетаний:

$\frac{n!}{5!(n-5)!} < \frac{n!}{3!(n-3)!}$

Поскольку при $n \ge 5$ значение $n!$ является положительным числом, мы можем разделить обе части неравенства на $n!$:

$\frac{1}{5!(n-5)!} < \frac{1}{3!(n-3)!}$

Так как обе части неравенства положительны, можно "перевернуть" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:

$5!(n-5)! > 3!(n-3)!$

Для упрощения неравенства представим факториалы больших чисел через меньшие: $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3! = 20 \cdot 3!$ и $(n-3)! = (n-3)(n-4)(n-5)!$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$20 \cdot 3! \cdot (n-5)! > 3! \cdot (n-3)(n-4)(n-5)!$

Сократим обе части на положительное выражение $3!(n-5)!$:

$20 > (n-3)(n-4)$

Раскроем скобки в правой части:

$20 > n^2 - 4n - 3n + 12$

$20 > n^2 - 7n + 12$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$n^2 - 7n - 8 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 7n - 8 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$n = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49+32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{7 \pm 9}{2}$

Корни уравнения: $n_1 = \frac{7-9}{2} = -1$ и $n_2 = \frac{7+9}{2} = 8$.

Так как парабола $y = n^2 - 7n - 8$ ветвями направлена вверх, неравенство $n^2 - 7n - 8 < 0$ выполняется между корнями, то есть при $-1 < n < 8$.

Теперь учтем ОДЗ, согласно которому $n$ - целое число и $n \ge 5$.

Совмещая условия $-1 < n < 8$ и $n \ge 5$, получаем $5 \le n < 8$.

Целочисленные решения, удовлетворяющие этому условию: $n=5, 6, 7$.

Ответ: $n \in \{5, 6, 7\}$.

б)

Дано неравенство $C_4^{n-1} > 2C_4^n$.

В данном случае верхний индекс является переменной. Неравенство записывается в виде $\binom{4}{n-1} > 2\binom{4}{n}$.

Найдем область допустимых значений для $n$.

Для выражения $C_4^{n-1} = \binom{4}{n-1}$ необходимо выполнение условий: $n-1$ — целое число и $0 \le n-1 \le 4$, что дает $1 \le n \le 5$.

Для выражения $C_4^n = \binom{4}{n}$ необходимо выполнение условий: $n$ — целое число и $0 \le n \le 4$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $n$ - целое число, $1 \le n \le 4$.

Перепишем неравенство, используя формулу для числа сочетаний:

$\frac{4!}{(n-1)!(4-(n-1))!} > 2 \cdot \frac{4!}{n!(4-n)!}$

$\frac{4!}{(n-1)!(5-n)!} > \frac{2 \cdot 4!}{n!(4-n)!}$

Разделим обе части на положительное число $4!$:

$\frac{1}{(n-1)!(5-n)!} > \frac{2}{n!(4-n)!}$

Представим $n! = n \cdot (n-1)!$ и $(5-n)! = (5-n) \cdot (4-n)!$:

$\frac{1}{(n-1)!(5-n)(4-n)!} > \frac{2}{n(n-1)!(4-n)!}$

Умножим обе части на положительное выражение $(n-1)!(4-n)!$ (которое положительно в ОДЗ):

$\frac{1}{5-n} > \frac{2}{n}$

В области допустимых значений ($1 \le n \le 4$) оба знаменателя $n$ и $5-n$ положительны. Поэтому можно умножить обе части неравенства на $n(5-n)$, не меняя знака неравенства:

$n > 2(5-n)$

$n > 10 - 2n$

$3n > 10$

$n > \frac{10}{3}$

$n > 3.33...$

Учитывая ОДЗ ($n$ — целое число и $1 \le n \le 4$), единственное значение $n$, удовлетворяющее условию $n > 3.33...$, это $n=4$.

Ответ: $n=4$.