Номер 262, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 262, страница 81.

Условие.

262. В игре «Спортлото» выбираются 6 номеров из 45. Сколько имеется вариантов выбора этих номеров?

Решение.

Решение 2 (rus).

В данной задаче требуется найти количество вариантов выбора 6 номеров из 45. Поскольку порядок, в котором выбираются номера, не важен, для решения используется формула числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов. В нашем случае $n = 45$ и $k = 6$.

Подставим значения в формулу:

$C_{45}^6 = \frac{45!}{6!(45-6)!} = \frac{45!}{6! \cdot 39!}$

Чтобы найти значение, распишем факториалы и сократим выражение:

$C_{45}^6 = \frac{45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39!}{6! \cdot 39!} = \frac{45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Теперь выполним вычисления, сокращая множители в числителе и знаменателе:

$C_{45}^6 = \frac{45}{5 \cdot 3} \cdot \frac{44}{4} \cdot \frac{42}{6} \cdot \frac{40}{2} \cdot 43 \cdot 41 = 3 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 20 \cdot 43 \cdot 41$

Перемножим полученные числа:

$3 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 20 \cdot 43 \cdot 41 = 33 \cdot 140 \cdot 1763 = 4620 \cdot 1763 = 8145060$

Таким образом, существует 8 145 060 вариантов выбора 6 номеров из 45.

Ответ: 8 145 060.