Номер 255, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 255, страница 80.

Условие.

255. Верно ли равенство:

а) $C_6^5 = \frac{6}{5}C_5^4$;

б) $\frac{6}{5}C_5^4 = C_5^4 + C_5^5$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для проверки данных равенств воспользуемся формулой для вычисления числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

а) Проверим истинность равенства $C_6^5 = \frac{6}{5}C_5^4$.

Сначала вычислим значение левой части равенства:
$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6$.

Теперь вычислим значение правой части. Для этого найдем $C_5^4$:
$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5$.
Тогда правая часть равна:
$\frac{6}{5}C_5^4 = \frac{6}{5} \cdot 5 = 6$.

Поскольку левая и правая части равны ($6 = 6$), равенство является верным.
Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим истинность равенства $\frac{6}{5}C_5^4 = C_5^4 + C_5^5$.

Из вычислений в пункте а) мы уже знаем, что левая часть равенства равна 6:
$\frac{6}{5}C_5^4 = 6$.

Теперь вычислим правую часть. Мы знаем, что $C_5^4 = 5$. Найдем значение $C_5^5$:
$C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = 1$, так как по определению $0!=1$.
Следовательно, правая часть равна:
$C_5^4 + C_5^5 = 5 + 1 = 6$.

Поскольку левая и правая части равны ($6 = 6$), это равенство также является верным. Можно заметить, что это равенство следует из тождества Паскаля ($C_{n+1}^k = C_n^k + C_n^{k-1}$) и равенства, доказанного в пункте а).
Ответ: да, равенство верно.