Номер 256, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 256, страница 80.

Условие.

256. Докажите, что верно равенство:

а) $C_{25}^{23} = C_{25}^2$;

б) $C_{32}^{27} = C_{32}^5$;

в) $C_7^1 + C_7^3 + C_7^5 = C_7^2 + C_7^4 + C_7^6$;

г) $C_{10}^8 = C_9^8 + C_9^7$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства равенства $C_{25}^{23} = C_{25}^2$ воспользуемся свойством симметричности биномиальных коэффициентов, которое гласит: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

В данном случае $n=25$ и $k=23$. Применим это свойство к левой части равенства:

$C_{25}^{23} = C_{25}^{25-23} = C_{25}^2$

Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $C_{25}^{23} = C_{25}^2$ верно, что и требовалось доказать.

б) Для доказательства равенства $C_{32}^{27} = C_{32}^5$ также воспользуемся свойством симметричности биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Здесь $n=32$ и $k=27$. Применяя свойство к левой части, получаем:

$C_{32}^{27} = C_{32}^{32-27} = C_{32}^5$

Левая часть тождественно равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $C_{32}^{27} = C_{32}^5$ верно, что и требовалось доказать.

в) Докажем равенство $C_7^1 + C_7^3 + C_7^5 = C_7^2 + C_7^4 + C_7^6$, используя свойство симметричности $C_n^k = C_n^{n-k}$ для преобразования слагаемых в левой части.

Применим свойство к каждому слагаемому:

$C_7^1 = C_7^{7-1} = C_7^6$

$C_7^3 = C_7^{7-3} = C_7^4$

$C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$C_7^1 + C_7^3 + C_7^5 = C_7^6 + C_7^4 + C_7^2$

Поскольку сложение коммутативно (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), мы можем записать сумму в другом порядке:

$C_7^6 + C_7^4 + C_7^2 = C_7^2 + C_7^4 + C_7^6$

Это выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $C_7^1 + C_7^3 + C_7^5 = C_7^2 + C_7^4 + C_7^6$ верно, что и требовалось доказать.

г) Для доказательства равенства $C_{10}^8 = C_9^8 + C_9^7$ воспользуемся тождеством Паскаля (или правилом сложения для биномиальных коэффициентов), которое имеет вид: $C_n^k = C_{n-1}^{k} + C_{n-1}^{k-1}$.

Применим это тождество для левой части равенства, где $n=10$ и $k=8$:

$C_{10}^8 = C_{10-1}^{8} + C_{10-1}^{8-1} = C_9^8 + C_9^7$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства, что доказывает его верность.

Ответ: Равенство $C_{10}^8 = C_9^8 + C_9^7$ верно, что и требовалось доказать.