Номер 261, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 261, страница 81.

Условие.

261. На отрезке $AB$ отметьте его внутренние точки $C, D, E, F, K$.

Сколько всего отрезков получилось на рисунке?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы найти общее количество отрезков, сначала нужно определить общее количество точек на прямой.

Изначально у нас есть отрезок $AB$, который задается двумя конечными точками: $A$ и $B$.

К этим двум точкам добавляются еще 5 внутренних точек: $C, D, E, F, K$.

Таким образом, общее количество точек на прямой, которые могут служить концами отрезков, равно:$n = 2 (\text{точки } A \text{ и } B) + 5 (\text{внутренние точки}) = 7$ точек.

Каждый отрезок определяется парой различных точек. Наша задача сводится к тому, чтобы найти, сколько различных пар точек можно выбрать из 7 имеющихся. Это классическая комбинаторная задача на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле: $C_n^k = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}$. В нашем случае нам нужно выбрать 2 точки ($k=2$) из 7 ($n=7$).

Формула упрощается до: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

Подставим наши значения:

$C_7^2 = \frac{7 \times (7-1)}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Можно также решить задачу методом последовательного подсчета. Пусть все точки расположены на прямой в некотором порядке, например: $A, C, D, E, F, K, B$.

• Из точки $A$ можно провести 6 отрезков (до точек $C, D, E, F, K, B$).
• Из точки $C$ можно провести 5 новых отрезков (до точек $D, E, F, K, B$, так как отрезок $CA$ уже посчитан как $AC$).
• Из точки $D$ можно провести 4 новых отрезка.
• Из точки $E$ — 3 новых отрезка.
• Из точки $F$ — 2 новых отрезка.
• Из точки $K$ — 1 новый отрезок (до точки $B$).

Суммируя количество отрезков, получаем:$6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 21 отрезок.