Номер 254, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 254, страница 80.

Условие.

254. Из вершины развернутого угла провели 8 лучей, содержащихся в нем. Сколько углов, не больших развернутого, получилось при этом?

Решение.

Решение 2 (rus).

Развернутый угол представляет собой прямую линию и образован двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины) в противоположных направлениях.

К этим двум лучам добавляются еще 8 лучей, проведенных из той же вершины внутри угла. Таким образом, общее количество лучей, исходящих из одной вершины, становится равным $2 + 8 = 10$.

Любой угол образуется парой лучей, исходящих из одной вершины. Так как все 8 новых лучей находятся внутри исходного развернутого угла, любая пара лучей, выбранная из 10 имеющихся, образует угол, который не будет больше развернутого.

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти количество всех возможных пар лучей, которые можно составить из 10 лучей. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.

Нам нужно вычислить число сочетаний из 10 элементов по 2, которое находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Где $n = 10$ – общее число лучей, а $k = 2$ – число лучей, необходимых для образования одного угла.

Подставляем наши значения в формулу:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$

Таким образом, при проведении 8 лучей из вершины развернутого угла образуется 45 углов, не больших развернутого.

Ответ: 45.