Номер 252, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 252, страница 80.

Условие.

252. Сколькими способами можно составить команду для эстафетного бега $4 \times 100 \text{ м}$ из 7 спортсменов, не учитывая порядок распределения их по этапам?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи нам нужно найти количество способов выбрать 4 спортсменов из 7. Условие "не учитывая порядок распределения их по этапам" означает, что порядок выбора спортсменов не важен. Например, команда, состоящая из спортсменов {А, Б, В, Г}, — это та же самая команда, что и {Б, А, Г, В}. Следовательно, мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество спортсменов $n = 7$, а количество спортсменов, которых нужно выбрать в команду, $k = 4$.

Подставим эти значения в формулу:
$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!}$

Распишем факториалы и произведем вычисления:
$C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Сократим $4!$ в числителе и знаменателе:
$C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35$

Следовательно, существует 35 различных способов составить команду.

Ответ: 35.