Номер 253, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 253, страница 80.

Условие.

253. В классе 20 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из них двух для дежурства?

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная задача является классической задачей по комбинаторике на нахождение числа сочетаний. Нам необходимо выбрать группу из 2 человек из 20, при этом порядок выбора не важен (поскольку обязанности дежурных одинаковы, пара "Иванов и Петров" — это то же самое, что и пара "Петров и Иванов").
Количество способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, без учета порядка, определяется формулой числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае:
$n = 20$ (общее количество учащихся в классе).
$k = 2$ (количество учащихся, которых нужно выбрать для дежурства).
Подставим значения в формулу:
$C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!}$
Для упрощения расчетов, распишем факториал в числителе и сократим его с факториалом в знаменателе:
$C_{20}^2 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{ (2 \cdot 1) \cdot 18!} = \frac{20 \cdot 19}{2}$
Теперь выполним вычисления:
$C_{20}^2 = \frac{380}{2} = 190$
Следовательно, существует 190 различных способов выбрать двух дежурных из 20 учащихся.
Ответ: 190.