Номер 260, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 260, страница 81.

Условие.

260. На окружности последовательно отмечены 12 точек. Найдите число:

а) хорд окружности с концами в этих точках;

б) треугольников с вершинами в этих точках.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти число хорд окружности с концами в данных 12 точках, необходимо посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 12. Каждая пара точек однозначно определяет одну хорду. Порядок выбора точек не важен (хорда между точками A и B — это та же самая хорда, что и между B и A), поэтому мы используем формулу для числа сочетаний.

Формула числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае общее число точек $n = 12$, а для построения хорды нам нужно выбрать $k = 2$ точки.

Подставляем значения в формулу: $C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12}{2 \cdot 1} = 66$.

Таким образом, можно построить 66 различных хорд.

Ответ: 66

б) Чтобы найти число треугольников с вершинами в этих точках, нужно определить, сколькими способами можно выбрать 3 точки из 12. Так как все 12 точек лежат на окружности, любые три из них не будут лежать на одной прямой, а значит, всегда будут образовывать треугольник. Порядок выбора вершин треугольника также не имеет значения.

Мы снова используем формулу для числа сочетаний. Здесь общее число точек $n = 12$, а для построения треугольника нужно выбрать $k = 3$ точки (вершины).

Подставляем значения в формулу: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220$.

Таким образом, можно построить 220 различных треугольников.

Ответ: 220