Номер 267, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 267, страница 81.

Условие.

267. Найдите область определения и множество значений функции:

а) $f(x) = C_{x+1}^{4-x}$;

б) $f(x) = C_{3x-5}^{3-x}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $f(x) = C_{x+1}^{4-x}$

Для того чтобы выражение для числа сочетаний $C_n^k$ имело смысл, должны выполняться следующие условия: $n$ и $k$ — целые неотрицательные числа, и $n \ge k$.

В данном случае $n = x+1$ и $k = 4-x$. Чтобы найти область определения функции, составим и решим систему неравенств, учитывая, что $x$ должен быть таким, чтобы $n$ и $k$ были целыми, следовательно, $x$ — целое число.

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \\ x+1 \ge 4-x \\ x \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 4 \\ 2x \ge 3 \Rightarrow x \ge 1.5 \\ x \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Объединяя условия, получаем, что $x$ должен быть целым числом в промежутке $[1.5, 4]$. Такими числами являются $2, 3, 4$.

Следовательно, область определения функции $D(f) = \{2, 3, 4\}$.

Теперь найдем множество значений функции $E(f)$, вычислив $f(x)$ для каждого значения $x$ из области определения:

При $x=2$: $f(2) = C_{2+1}^{4-2} = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.

При $x=3$: $f(3) = C_{3+1}^{4-3} = C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.

При $x=4$: $f(4) = C_{4+1}^{4-4} = C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$.

Таким образом, множество значений функции $E(f) = \{1, 3, 4\}$.

Ответ: Область определения $D(f) = \{2, 3, 4\}$, множество значений $E(f) = \{1, 3, 4\}$.

б) $f(x) = C_{3x-5}^{3-x}$

Аналогично предыдущему пункту, для нахождения области определения составим систему неравенств, где $n = 3x-5$ и $k = 3-x$.

$ \begin{cases} 3x-5 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \\ 3x-5 \ge 3-x \\ x \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Решим систему:

$ \begin{cases} 3x \ge 5 \Rightarrow x \ge \frac{5}{3} \\ x \le 3 \\ 4x \ge 8 \Rightarrow x \ge 2 \\ x \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Объединяя условия, получаем, что $x$ должен быть целым числом в промежутке $[2, 3]$. Такими числами являются $2, 3$.

Следовательно, область определения функции $D(f) = \{2, 3\}$.

Найдем множество значений функции $E(f)$, вычислив $f(x)$ для каждого значения $x$ из области определения:

При $x=2$: $f(2) = C_{3(2)-5}^{3-2} = C_{1}^{1} = \frac{1!}{1!(1-1)!} = 1$.

При $x=3$: $f(3) = C_{3(3)-5}^{3-3} = C_{4}^{0} = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1$.

В обоих случаях значение функции равно 1. Таким образом, множество значений функции состоит из одного элемента.

Ответ: Область определения $D(f) = \{2, 3\}$, множество значений $E(f) = \{1\}$.