Номер 269, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 269, страница 81.

Условие.

269. Исследуйте, сколькими способами натуральное число $n$ можно представить в виде суммы трех натуральных чисел, первое из которых равно 1. Рассмотрите случаи четного и нечетного $n$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов представить натуральное число $n$ в виде суммы трех натуральных чисел, первое из которых равно 1. Это можно записать в виде уравнения:
$n = 1 + x + y$,
где $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Из этого уравнения следует, что нам нужно найти количество пар натуральных чисел $(x, y)$, для которых выполняется равенство:
$x + y = n - 1$.
Так как $x \ge 1$ и $y \ge 1$, их сумма $x+y \ge 2$. Следовательно, $n-1 \ge 2$, что означает $n \ge 3$. При $n < 3$ таких представлений не существует.
Поскольку в задаче речь идет о представлении в виде суммы, порядок слагаемых $x$ и $y$ не важен (например, сумма $1+2+5$ это то же самое, что и $1+5+2$). Поэтому мы ищем количество неупорядоченных пар натуральных чисел $\{x, y\}$. Чтобы избежать повторного подсчета пар, введем дополнительное условие $x \le y$.
Итак, мы ищем количество решений системы:
$x + y = n - 1$
$1 \le x \le y$
Из условия $x \le y$ и $x+y = n-1$ следует, что $x+x \le x+y$, то есть $2x \le n-1$, откуда $x \le \frac{n-1}{2}$.
Поскольку $x$ — натуральное число, оно может принимать любое целое значение от 1 до $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$. Каждому такому значению $x$ однозначно соответствует значение $y = n-1-x$, причем условие $x \le y$ будет выполнено.
Таким образом, общее количество способов равно $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$. Рассмотрим это выражение для четного и нечетного $n$.

Случай 1: n – четное число
Пусть $n$ — четное число, то есть $n=2k$ для некоторого натурального числа $k$. Так как $n \ge 3$, то минимальное четное $n$ равно 4, следовательно $k \ge 2$.
Количество способов в этом случае равно:
$C = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor = \lfloor \frac{2k-1}{2} \rfloor = \lfloor k - \frac{1}{2} \rfloor = k-1$.
Поскольку $k = \frac{n}{2}$, то число способов равно $\frac{n}{2} - 1$.
Например, для $n=8$ ($k=4$), мы ищем количество пар $\{x,y\}$ таких, что $x+y=7$ и $x \le y$. Это пары $\{1,6\}, \{2,5\}, \{3,4\}$. Всего 3 способа. По формуле: $\frac{8}{2}-1 = 4-1=3$.
Ответ: Если $n$ — четное натуральное число ($n \ge 4$), то существует $\frac{n}{2} - 1$ способов.

Случай 2: n – нечетное число
Пусть $n$ — нечетное число, то есть $n=2k+1$ для некоторого натурального числа $k$. Так как $n \ge 3$, то $k \ge 1$.
Количество способов в этом случае равно:
$C = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor = \lfloor \frac{(2k+1)-1}{2} \rfloor = \lfloor \frac{2k}{2} \rfloor = \lfloor k \rfloor = k$.
Поскольку $k = \frac{n-1}{2}$, то число способов равно $\frac{n-1}{2}$.
Например, для $n=9$ ($k=4$), мы ищем количество пар $\{x,y\}$ таких, что $x+y=8$ и $x \le y$. Это пары $\{1,7\}, \{2,6\}, \{3,5\}, \{4,4\}$. Всего 4 способа. По формуле: $\frac{9-1}{2} = \frac{8}{2}=4$.
Ответ: Если $n$ — нечетное натуральное число ($n \ge 3$), то существует $\frac{n-1}{2}$ способов.