Номер 274, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 274, страница 86.

Условие.

274. Запишите в виде степени многочлен:

а) $x^6 + 6x^5 \cdot 2 + 15x^4 \cdot 2^2 + 20x^3 \cdot 2^3 + 15x^2 \cdot 2^4 + 6x \cdot 2^5 + 2^6$;

б) $3^5 - 5 \cdot 3^4y + 10 \cdot 3^3y^2 - 10 \cdot 3^2y^3 + 5 \cdot 3y^4 - y^5$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Данный многочлен является разложением выражения вида $(a+b)^n$ по формуле бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{n}b^n$

В исходном выражении $x^6 + 6x^5 \cdot 2 + 15x^4 \cdot 2^2 + 20x^3 \cdot 2^3 + 15x^2 \cdot 2^4 + 6x \cdot 2^5 + 2^6$ мы видим, что степень $x$ уменьшается с 6 до 0, а степень 2 увеличивается с 0 до 6. Это означает, что $n=6$, $a=x$ и $b=2$.

Коэффициенты 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 являются биномиальными коэффициентами $\binom{6}{k}$ для $k=0, 1, \dots, 6$.

Таким образом, исходное выражение представляет собой разложение $(x+2)^6$.

Ответ: $(x+2)^6$

б) Данный многочлен $3^5 - 5 \cdot 3^4 y + 10 \cdot 3^3 y^2 - 10 \cdot 3^2 y^3 + 5 \cdot 3 y^4 - y^5$ является разложением выражения вида $(a-b)^n$ по формуле бинома Ньютона.

Формула для разности: $(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$.

В многочлене степень числа 3 уменьшается с 5 до 0, а степень $y$ увеличивается с 0 до 5. Знаки членов чередуются. Это означает, что $n=5$, $a=3$ и $b=y$.

Коэффициенты 1, 5, 10, 10, 5, 1 являются биномиальными коэффициентами $\binom{5}{k}$ для $k=0, 1, \dots, 5$.

Следовательно, исходное выражение является разложением $(3-y)^5$.

Ответ: $(3-y)^5$