Номер 270, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 270, страница 81.

Условие.

270. Покупатель решил рассмотреть все возможные варианты покупки 4 вещей из нескольких имеющихся. Продавец сказала, что ему для этого надо будет рассмотреть не больше 105 вариантов. Какое наибольшее количество вещей могло быть?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $n$ — это общее количество имеющихся вещей. Покупатель хочет выбрать 4 вещи из $n$. Поскольку порядок выбора вещей не имеет значения, мы имеем дело с сочетаниями.

Количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ (число сочетаний из $n$ по $k$) вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае покупатель выбирает $k=4$ вещи. По условию задачи, количество возможных вариантов не больше 105. Это можно записать в виде неравенства: $C_n^4 \le 105$

Распишем формулу для $C_n^4$: $C_n^4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Подставим это выражение в наше неравенство: $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \le 105$

Теперь решим это неравенство относительно $n$. Умножим обе части на 24: $n(n-1)(n-2)(n-3) \le 105 \cdot 24$ $n(n-1)(n-2)(n-3) \le 2520$

Нам нужно найти наибольшее целое число $n$ (причем $n \ge 4$), которое удовлетворяет этому неравенству. Будем проверять значения $n$ методом подбора.

При $n=8$:
$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24} = \frac{1680}{24} = 70$.
Неравенство $70 \le 105$ выполняется.

При $n=9$:
$C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24} = \frac{3024}{24} = 126$.
Неравенство $126 \le 105$ не выполняется.

Так как функция $C_n^4$ является возрастающей для $n \ge 4$, то при $n > 8$ значения будут еще больше, и неравенство тем более не будет выполняться. Следовательно, наибольшее количество вещей, которое могло быть, — это 8.

Ответ: 8