Номер 271, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 271, страница 81.

Условие.

271. Решите систему уравнений $\begin{cases} C_{n+1}^{k+1} = C_{n+1}^{k}, \\ 3C_{n+1}^{k} = 5C_{n+1}^{k-1}. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная система уравнений:

$\begin{cases} C_{n+1}^{k+1} = C_{n+1}^{k}, \\3C_{n+1}^{k} = 5C_{n+1}^{k-1}. \end{cases}$

Вспомним, что биномиальный коэффициент $C_a^b$ (число сочетаний из $a$ по $b$) определяется по формуле $C_a^b = \frac{a!}{b!(a-b)!}$ для целых неотрицательных чисел $a$ и $b$ при условии $a \ge b$.

Из вида уравнений системы определим область допустимых значений для $n$ и $k$. Все верхние и нижние индексы должны быть целыми неотрицательными числами, и верхний индекс должен быть не меньше нижнего.

Из $C_{n+1}^{k+1}$ следует: $n+1 \ge k+1 \ge 0$. Это дает $n \ge k$ и $k \ge -1$.

Из $C_{n+1}^{k}$ следует: $n+1 \ge k \ge 0$.

Из $C_{n+1}^{k-1}$ следует: $n+1 \ge k-1 \ge 0$. Это дает $n+2 \ge k$ и $k \ge 1$.

Объединяя все условия, получаем, что $n$ и $k$ — целые числа, удовлетворяющие неравенствам $n \ge k \ge 1$.

Теперь решим первое уравнение системы: $C_{n+1}^{k+1} = C_{n+1}^{k}$.

Используем свойство симметрии биномиальных коэффициентов: если $C_a^b = C_a^c$ и $b \neq c$, то $a = b+c$.

В нашем случае $a=n+1$, $b=k+1$, $c=k$. Поскольку $k+1 \neq k$, мы можем применить это свойство:

$n+1 = (k+1) + k$

$n+1 = 2k + 1$

$n = 2k$

Далее решим второе уравнение системы: $3C_{n+1}^{k} = 5C_{n+1}^{k-1}$.

Распишем коэффициенты по формуле:

$3 \cdot \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} = 5 \cdot \frac{(n+1)!}{(k-1)!(n+1-(k-1))!}$

Упростим выражение:

$3 \cdot \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} = 5 \cdot \frac{(n+1)!}{(k-1)!(n+2-k)!}$

Поскольку $n \ge k \ge 1$, все факториалы определены и не равны нулю. Сократим $(n+1)!$ с обеих сторон. Также используем то, что $k! = k \cdot (k-1)!$ и $(n+2-k)! = (n+2-k) \cdot (n+1-k)!$:

$3 \cdot \frac{1}{k \cdot (k-1)! (n+1-k)!} = 5 \cdot \frac{1}{(k-1)! (n+2-k)(n+1-k)!}$

Сократим общие множители $(k-1)!$ и $(n+1-k)!$:

$\frac{3}{k} = \frac{5}{n+2-k}$

Применяя основное свойство пропорции, получаем:

$3(n+2-k) = 5k$

$3n + 6 - 3k = 5k$

$3n + 6 = 8k$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} n = 2k, \\3n + 6 = 8k.\end{cases}$

Подставим $n=2k$ во второе уравнение:

$3(2k) + 6 = 8k$

$6k + 6 = 8k$

$6 = 2k$

$k = 3$

Теперь найдем $n$ из уравнения $n = 2k$:

$n = 2 \cdot 3 = 6$

Решение системы — пара чисел $(n, k) = (6, 3)$. Проверим, удовлетворяет ли это решение области допустимых значений $n \ge k \ge 1$: $6 \ge 3 \ge 1$. Условие выполнено.

Ответ: $n=6, k=3$.