Номер 259, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 259, страница 80.

Условие.

259. При каких значениях $n$ верно равенство $C_3^n + 3n = 9?

Решение.

Решение 2 (rus).

Данное равенство содержит биномиальный коэффициент $C₃ⁿ$, который обозначает число сочетаний из $n$ элементов по 3. Формула для числа сочетаний имеет вид:

$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $k=3$, поэтому:

$C₃ⁿ = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6 \cdot (n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Для того чтобы выражение $C₃ⁿ$ было определено, $n$ должно быть целым числом, и должно выполняться условие $n \ge 3$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} + 3n = 9$

Рассмотрим левую часть уравнения как функцию от $n$: $f(n) = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} + 3n$.

Проверим наименьшее возможное значение для $n$, то есть $n=3$:

$f(3) = \frac{3(3-1)(3-2)}{6} + 3 \cdot 3 = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6} + 9 = 1 + 9 = 10$

При $n=3$ левая часть уравнения равна 10, что не равно 9. Таким образом, $n=3$ не является решением.

Теперь проанализируем поведение функции $f(n)$ при $n > 3$.

Функция $f(n)$ является суммой двух функций: $g(n) = C₃ⁿ$ и $h(n) = 3n$.

Для $n \ge 3$ обе функции являются строго возрастающими. Функция $h(n) = 3n$ очевидно возрастает. Функция $g(n) = C₃ⁿ$ также возрастает, так как при увеличении числа элементов множества количество способов выбрать из него 3 элемента увеличивается. Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.

Поскольку наименьшее значение функции $f(n)$ в области ее определения ($n \ge 3$) равно $f(3) = 10$, а это значение уже больше 9, и функция $f(n)$ строго возрастает, то ни при каком целом $n > 3$ значение функции не может стать равным 9.

Таким образом, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Таких значений $n$ не существует.