Номер 290, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 290, страница 87.

Условие.

290.
Исследуйте, существует ли значение $n$, при котором третий биномиальный коэффициент разложения $(a+b)^n$ равен среднему арифметическому второго и четвертого биномиальных коэффициентов.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи воспользуемся формулой биномиальных коэффициентов $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, которые являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона $(a+b)^n$.

Нумерация членов разложения начинается с нуля, поэтому второй, третий и четвертый биномиальные коэффициенты соответствуют значениям $k=1$, $k=2$ и $k=3$.

Второй коэффициент: $C_n^1 = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n$.

Третий коэффициент: $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Четвертый коэффициент: $C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

Для того чтобы в разложении существовал четвертый коэффициент ($C_n^3$), показатель степени $n$ должен быть целым числом и удовлетворять условию $n \ge 3$.

Согласно условию задачи, третий биномиальный коэффициент равен среднему арифметическому второго и четвертого. Составим на основе этого условия уравнение:$C_n^2 = \frac{C_n^1 + C_n^3}{2}$

Подставим в него выражения для коэффициентов:$\frac{n(n-1)}{2} = \frac{n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Умножим обе части на 2:$n(n-1) = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Так как $n \ge 3$, то $n \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $n$:$n-1 = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$

Вычтем 1 из обеих частей:$n-2 = \frac{(n-1)(n-2)}{6}$

Умножим обе части на 6:$6(n-2) = (n-1)(n-2)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $(n-2)$ за скобки:$6(n-2) - (n-1)(n-2) = 0$
$(n-2)(6 - (n-1)) = 0$
$(n-2)(6 - n + 1) = 0$
$(n-2)(7-n) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $n_1 = 2$ и $n_2 = 7$.

Корень $n=2$ не удовлетворяет ранее установленному ограничению $n \ge 3$, так как при $n=2$ разложение бинома содержит только три члена и, следовательно, не имеет четвертого коэффициента.

Единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $n=7$. Проведем проверку.

При $n=7$ коэффициенты равны:
Второй коэффициент: $C_7^1 = 7$.
Третий коэффициент: $C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
Четвертый коэффициент: $C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$.

Найдем среднее арифметическое второго и четвертого коэффициентов:$\frac{7 + 35}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Полученное значение действительно равно третьему коэффициенту (21), что подтверждает правильность решения.

Ответ: Да, такое значение $n$ существует, и оно равно 7.