Номер 294, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 294, страница 88.

Условие.

294. Сколько получится чисел в результате перестановок цифр числа 2018?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи нужно найти количество всех возможных перестановок цифр числа 2018, учитывая, что число не может начинаться с нуля. Число 2018 состоит из четырех различных цифр: 2, 0, 1, 8.

Способ 1: Метод исключения
Сначала найдем общее количество перестановок для четырех различных цифр. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал).
Для наших четырех цифр {2, 0, 1, 8} общее число перестановок равно:
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Теперь нужно исключить те перестановки, которые начинаются с цифры 0, так как они не образуют четырехзначное число (например, 0218 — это число 218).
Если мы зафиксируем 0 на первой позиции, то нам останется расположить оставшиеся три цифры {2, 1, 8} на трех местах. Количество таких перестановок равно:
$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
Следовательно, количество четырехзначных чисел, которые можно составить, равно разности общего числа перестановок и числа перестановок, начинающихся с нуля:
$24 - 6 = 18$.

Способ 2: Поразрядное размещение
Можно рассчитать количество вариантов для каждой позиции в четырехзначном числе.
- На первую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из трех цифр, кроме нуля: 1, 2 или 8. Таким образом, есть 3 варианта.
- На вторую позицию (разряд сотен) можно поставить любую из трех оставшихся цифр. Например, если на первое место поставили 1, то остаются 0, 2, 8. Таким образом, есть 3 варианта.
- На третью позицию (разряд десятков) можно поставить любую из двух оставшихся цифр. Есть 2 варианта.
- На четвертую позицию (разряд единиц) можно поставить последнюю оставшуюся цифру. Есть 1 вариант.
По правилу произведения в комбинаторике, общее количество чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 18$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 18.