Номер 301, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 301, страница 89.

Условие.

301. На окружности отмечены 5 точек. Сколько существует выпуклых многоугольников с вершинами в этих точках?

Решение.

Решение 2 (rus).

Поскольку все 5 точек лежат на одной окружности, любой многоугольник, вершинами которого являются эти точки, будет выпуклым. Многоугольник должен состоять как минимум из трех вершин. Таким образом, задача сводится к подсчету количества способов выбрать 3, 4 или 5 вершин из 5 доступных точек. Для этого мы будем использовать формулу для числа сочетаний, так как порядок выбора вершин не имеет значения для определения многоугольника. Формула сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество точек, а $k$ — количество вершин в многоугольнике.

1. Найдем количество треугольников (многоугольников с 3 вершинами). Для этого нужно выбрать 3 точки из 5:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

2. Найдем количество четырехугольников (многоугольников с 4 вершинами). Для этого нужно выбрать 4 точки из 5:
$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5$.

3. Найдем количество пятиугольников (многоугольников с 5 вершинами). Для этого нужно выбрать 5 точек из 5:
$C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = 1$ (по определению $0! = 1$).

Чтобы найти общее количество всех возможных выпуклых многоугольников, сложим количество треугольников, четырехугольников и пятиугольников:
Общее количество = $10 + 5 + 1 = 16$.

Ответ: 16