Номер 303, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 303, страница 89.

Условие.

303. Из цифр 0, 3, 4, 5 составлены все нечетные числа, в каждом из которых нет одинаковых цифр. Сколько получилось нечетных чисел?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо найти общее количество нечетных чисел, которые можно составить из набора цифр {0, 3, 4, 5} при условии, что цифры в числе не повторяются. Число является нечетным, если его последняя цифра — нечетная. В данном наборе это цифры 3 и 5. Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от количества цифр в числе.

1. Однозначные нечетные числа.
Такими числами являются сами нечетные цифры из набора: 3 и 5.
Всего получается 2 числа.

2. Двузначные нечетные числа.
Число состоит из двух позиций. Последняя позиция должна быть занята нечетной цифрой, а первая — любой из оставшихся, кроме нуля.
- Выбор последней цифры: есть 2 варианта (3 или 5).
- Выбор первой цифры: зависит от выбора последней.
- Если последняя цифра 3, для первой остаются {0, 4, 5}. Так как первая цифра не может быть 0, есть 2 варианта (4 или 5). Получаем числа 43, 53.
- Если последняя цифра 5, для первой остаются {0, 3, 4}. Так как первая цифра не может быть 0, есть 2 варианта (3 или 4). Получаем числа 35, 45.
Общее количество двузначных нечетных чисел: $2 + 2 = 4$.

3. Трехзначные нечетные числа.
Число состоит из трех позиций.
- Выбор последней цифры: 2 варианта (3 или 5).
- Выбор первой цифры: не может быть 0 и не может быть равна последней цифре. Из 4-х исходных цифр одна занята, из 3-х оставшихся одна — это 0. Следовательно, есть 2 варианта.
- Выбор второй (средней) цифры: из 4-х исходных цифр две уже использованы. Остаются 2 варианта.
Общее количество трехзначных нечетных чисел вычисляется как произведение вариантов: $2 \times 2 \times 2 = 8$.

4. Четырехзначные нечетные числа.
В этом случае используются все четыре цифры {0, 3, 4, 5}.
- Выбор последней цифры: 2 варианта (3 или 5).
- Выбор первой цифры: не 0 и не последняя цифра. 2 варианта.
- Выбор второй цифры: любая из 2-х оставшихся. 2 варианта.
- Выбор третьей цифры: 1 оставшаяся цифра. 1 вариант.
Общее количество четырехзначных нечетных чисел: $2 \times 2 \times 2 \times 1 = 8$.

Чтобы найти итоговое количество нечетных чисел, нужно сложить все найденные значения:
$2 + 4 + 8 + 8 = 22$.
Ответ: 22