Номер 307, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 307, страница 89.

Условие.

307. Найдите значение выражения $(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^5 - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^5$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ и $b = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Тогда искомое выражение можно записать как $a^5 - b^5$.

Найдем сумму и произведение $a$ и $b$:

Сумма: $a+b = \frac{1+\sqrt{5}}{2} + \frac{1-\sqrt{5}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Произведение: $ab = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) = \frac{1^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{1-5}{4} = -1$.

Числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$, то есть $x^2 - x - 1 = 0$.

Из этого следует, что для $a$ и $b$ выполняются равенства $a^2 = a+1$ и $b^2 = b+1$.

Будем последовательно вычислять степени $a$, выражая их через $a$ в первой степени и свободный член:

$a^2 = a+1$

$a^3 = a \cdot a^2 = a(a+1) = a^2+a = (a+1)+a = 2a+1$

$a^4 = a \cdot a^3 = a(2a+1) = 2a^2+a = 2(a+1)+a = 3a+2$

$a^5 = a \cdot a^4 = a(3a+2) = 3a^2+2a = 3(a+1)+2a = 5a+3$

Аналогичные вычисления справедливы и для $b$, что дает $b^5 = 5b+3$.

Теперь найдем разность $a^5 - b^5$:

$a^5 - b^5 = (5a+3) - (5b+3) = 5a - 5b = 5(a-b)$.

Осталось вычислить разность $a-b$:

$a-b = \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.

Подставляя полученное значение, находим окончательный результат:

$5(a-b) = 5\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{5}$.