Вопросы, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - страница 96.

Условие.

1. Дайте определение числовой последовательности.

2. Какая числовая последовательность называется конечной, а какая – бесконечной?

3. Какие способы задания числовой последовательности вы знаете? Приведите примеры.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Числовая последовательность — это функция, область определения которой есть множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ или его начальный конечный отрезок $\{1, 2, \dots, N\}$. Каждому натуральному числу $n$, называемому индексом или номером, ставится в соответствие действительное число $a_n$, называемое $n$-ым членом последовательности. Последовательность принято обозначать символом $(a_n)$ или $\{a_n\}$, либо перечислением её членов: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$.

Ответ: Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел, то есть занумерованный ряд чисел, в котором каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие число $a_n$.

2. Числовая последовательность называется конечной, если она содержит конечное число членов. Это означает, что её члены можно пересчитать и существует последний член последовательности. Областью определения такой функции является конечное множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, \dots, N\}$. Например: последовательность всех двузначных чисел: 10, 11, 12, ..., 99.

Числовая последовательность называется бесконечной, если она содержит бесконечное число членов. У такой последовательности нет последнего члена. Областью определения такой функции является всё множество натуральных чисел $\mathbb{N}$. Например: последовательность всех чётных положительных чисел: 2, 4, 6, 8, ...

Ответ: Конечная последовательность имеет конечное число членов и, соответственно, последний член. Бесконечная последовательность имеет бесконечное число членов и не имеет последнего члена.

3. Существуют несколько основных способов задания числовых последовательностей.

Аналитический способ заключается в том, что последовательность задаётся формулой её $n$-го члена, то есть $a_n=f(n)$. Эта формула позволяет найти любой член последовательности, зная его номер $n$. Например, формула $a_n = n^2$ задаёт последовательность квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, ... Другой пример, формула $b_n = \frac{1}{n}$ задаёт последовательность: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

Рекуррентный способ состоит в том, что задаётся формула, позволяющая выразить любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены. При этом необходимо также задать один или несколько начальных членов. Например, арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=5$ и разностью $d=2$ задаётся рекуррентно как $a_1=5$ и $a_{n+1} = a_n + 2$. Последовательность: 5, 7, 9, 11, ... Другим известным примером является последовательность Фибоначчи, которая задаётся первыми двумя членами $F_1 = 1, F_2 = 1$ и рекуррентной формулой $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ для $n \ge 1$. Последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Словесный способ означает, что правило, по которому составляется последовательность, описывается словами, без явного указания формул. Например, последовательность всех простых чисел в порядке возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Или последовательность, членами которой являются десятичные знаки в записи числа $\pi = 3.14159...$: 1, 4, 1, 5, 9, ...

Ответ: Основные способы задания числовой последовательности: аналитический (с помощью формулы n-го члена), рекуррентный (когда каждый следующий член выражается через предыдущие) и словесный (описанием).