Номер 295, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Упражнения на повторение раздела «Элементы комбинаторики». II. Элементы комбинаторики - номер 295, страница 88.

Условие.

295. Верно ли равенство:

а) $P_3 + P_2 = P_5$;

б) $\frac{P_8 - P_7}{P_6} = \frac{P_1}{P_6}$;

в) $\frac{P_8 - P_7}{P_6} = 49$;

г) $\frac{P_k - P_{k-1}}{P_{k-2}} = (k-1)^2?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Проверим равенство $P_3 + P_2 = P_5$.
Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
Вычислим левую часть равенства:
$P_3 + P_2 = 3! + 2! = (1 \cdot 2 \cdot 3) + (1 \cdot 2) = 6 + 2 = 8$.
Вычислим правую часть равенства:
$P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.
Сравниваем полученные значения: $8 \neq 120$.
Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

б) Проверим равенство $\frac{P_8 - P_7}{P_6} = \frac{P_7}{P_6}$.
Используем свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$.
Преобразуем и вычислим левую часть равенства:
$\frac{P_8 - P_7}{P_6} = \frac{8! - 7!}{6!} = \frac{7! \cdot (8 - 1)}{6!} = \frac{7 \cdot 7!}{6!} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 49$.
Преобразуем и вычислим правую часть равенства:
$\frac{P_7}{P_6} = \frac{7!}{6!} = \frac{7 \cdot 6!}{6!} = 7$.
Сравниваем полученные значения: $49 \neq 7$.
Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

в) Проверим равенство $\frac{P_8 - P_7}{P_6} = 49$.
Как было вычислено в пункте б), значение левой части равно 49:
$\frac{P_8 - P_7}{P_6} = \frac{8! - 7!}{6!} = \frac{7!(8 - 1)}{6!} = \frac{7 \cdot 7!}{6!} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 49$.
Правая часть равенства также равна 49.
Так как $49 = 49$, данное равенство верно.
Ответ: верно.

г) Проверим равенство $\frac{P_k - P_{k-1}}{P_{k-2}} = (k-1)^2$.
Данное равенство имеет смысл при $k-2 \ge 0$, то есть при $k \ge 2$.
Преобразуем левую часть, используя определение $P_n = n!$ и свойство факториала:
$\frac{P_k - P_{k-1}}{P_{k-2}} = \frac{k! - (k-1)!}{(k-2)!}$.
Вынесем в числителе за скобки $(k-1)!$:
$k! - (k-1)! = k \cdot (k-1)! - 1 \cdot (k-1)! = (k-1) \cdot (k-1)!$.
Получим выражение:
$\frac{(k-1) \cdot (k-1)!}{(k-2)!}$.
Представим $(k-1)!$ как $(k-1) \cdot (k-2)!$ и подставим в выражение:
$\frac{(k-1) \cdot (k-1) \cdot (k-2)!}{(k-2)!}$.
Сократим дробь на $(k-2)!$ (это возможно, так как при $k \ge 2$, $(k-2)! \neq 0$):
$(k-1) \cdot (k-1) = (k-1)^2$.
Левая часть тождественно равна правой для всех допустимых $k$.
Следовательно, данное равенство верно.
Ответ: верно.