Номер 329, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

13. Числовая последовательность, способы ее задания и свойства. III. Последовательности - номер 329, страница 98.

Условие.

329. Найдите, при каких значениях $n$ члены последовательности, данной в задаче 328:

a) $x_n > 100$;

б) $y_n < 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Согласно условию задачи 328, формула для n-го члена последовательности $(x_n)$ имеет вид $x_n = n^2 - 10n$. Необходимо найти все натуральные значения $n$, для которых выполняется неравенство $x_n > 100$.
Составим и решим это неравенство:
$n^2 - 10n > 100$
$n^2 - 10n - 100 > 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 10n - 100 = 0$ с помощью формулы корней квадратного уравнения.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 100 + 400 = 500$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{500}}{2} = \frac{10 \pm 10\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 5\sqrt{5}$.
Графиком функции $y = n^2 - 10n - 100$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $n^2 - 10n - 100 > 0$ выполняется, когда $n$ находится вне интервала между корнями, то есть $n < 5 - 5\sqrt{5}$ или $n > 5 + 5\sqrt{5}$.
Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Оценим значения корней, используя приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.236$:
$n_1 = 5 - 5\sqrt{5} \approx 5 - 5 \cdot 2.236 = 5 - 11.18 = -6.18$.
$n_2 = 5 + 5\sqrt{5} \approx 5 + 5 \cdot 2.236 = 5 + 11.18 = 16.18$.
Условие $n < -6.18$ не имеет решений в натуральных числах.
Из условия $n > 16.18$ следует, что наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 17.
Таким образом, члены последовательности $x_n$ больше 100 при всех натуральных $n \ge 17$.
Ответ: при $n \ge 17$.

б) Согласно условию задачи 328, формула для n-го члена последовательности $(y_n)$ имеет вид $y_n = \frac{n-15}{n}$. Необходимо найти все натуральные значения $n$, для которых выполняется неравенство $y_n < 0$.
Составим и решим это неравенство:
$\frac{n-15}{n} < 0$
Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ является натуральным числом, а значит $n \ge 1$. Поэтому знаменатель $n$ всегда положителен.
Чтобы дробь была отрицательной при положительном знаменателе, ее числитель должен быть отрицательным:
$n - 15 < 0$
$n < 15$
Учитывая, что $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), решениями являются все натуральные числа от 1 до 14 включительно.
Ответ: при $n = 1, 2, \ldots, 14$.