Номер 238, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 238, страница 76.

Условие.

238. В секции по плаванию 10 человек. Сколько существует способов выбора 5 из них для участия в соревнованиях по пяти видам плавания (по одному человеку на каждый вид)?

Решение.

Решение 2 (rus).

В данной задаче нам необходимо выбрать 5 человек из 10 и назначить каждого из них на один из пяти различных видов плавания. Так как виды плавания различны, то важен порядок, в котором мы выбираем спортсменов и назначаем им дисциплины. Например, если спортсмен А плывет брассом, а спортсмен Б — кролем, это один вариант. А если спортсмен Б плывет брассом, а спортсмен А — кролем, это уже другой вариант. Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Число способов выбрать и разместить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, называется числом размещений из $n$ по $k$ и обозначается $A_n^k$. Формула для вычисления числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 10$ (общее количество человек в секции).
• $k = 5$ (количество человек, которых нужно выбрать для участия в соревнованиях).

Подставим эти значения в формулу:

$A_{10}^5 = \frac{10!}{(10-5)!} = \frac{10!}{5!}$

Распишем факториалы, чтобы сократить дробь:

$A_{10}^5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Теперь вычислим произведение:

$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 90 \times 8 \times 7 \times 6 = 720 \times 7 \times 6 = 5040 \times 6 = 30240$

Таким образом, существует 30 240 способов выбора 5 пловцов из 10 для участия в пяти различных видах соревнований.

Ответ: 30240.