Номер 233, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 233, страница 73.

Условие.

233. Исследуйте, существует ли пятизначное число, записанное цифрами 0, 1 и тремя двойками, являющееся квадратом некоторого трехзначного числа.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомое пятизначное число равно $N$. По условию, число $N$ записано с помощью цифр 0, 1 и трех двоек, то есть набора цифр $\{0, 1, 2, 2, 2\}$. Также по условию, $N$ является квадратом некоторого трехзначного числа. Обозначим это трехзначное число как $k$. Таким образом, $N = k^2$, где $k$ — целое число и $100 \le k \le 999$.

Найдем диапазон возможных значений для $k$. Наименьшее трехзначное число $k=100$, его квадрат $k^2 = 100^2 = 10000$ (пятизначное). Наибольшее пятизначное число — 99999. Так как $\sqrt{99999} \approx 316.2$, то самое большое трехзначное число $k$, квадрат которого является пятизначным, это 316. Следовательно, $k$ должно находиться в диапазоне $100 \le k \le 316$.

Рассмотрим свойства числа $N$, вытекающие из его состава цифр. Сумма цифр числа $N$ всегда будет равна $0 + 1 + 2 + 2 + 2 = 7$.

Проверим число $N$ на основе признаков делимости. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа $N$ равна 7, что не делится на 3. Следовательно, $N$ не делится на 3. Если число является полным квадратом и не делится на 3, то при делении на 3 оно должно давать в остатке 1. Проверим остаток от деления нашего числа $N$ на 3. Он равен остатку от деления суммы его цифр (7) на 3, то есть $7 \equiv 1 \pmod{3}$. Это условие не противоречит тому, что $N$ является полным квадратом.

Теперь проанализируем последнюю цифру числа $N$. Полный квадрат может оканчиваться только на одну из цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Из имеющегося у нас набора цифр $\{0, 1, 2, 2, 2\}$ последней цифрой числа $N$ могут быть только 0 или 1, так как 2 не может быть последней цифрой полного квадрата.

Рассмотрим эти два случая.
1. Если последняя цифра числа $N$ равна 0. Любой полный квадрат, оканчивающийся на 0, должен быть кратен 100, а значит, оканчиваться на 00. Для этого потребовалось бы две цифры 0, но в нашем наборе цифр есть только одна. Следовательно, этот случай невозможен.
2. Если последняя цифра числа $N$ равна 1. Это возможно. В таком случае трехзначное число $k$, квадратом которого является $N$, должно оканчиваться на 1 или 9. Остальные четыре цифры числа $N$ — это $\{0, 2, 2, 2\}$. Поскольку $N$ — пятизначное число, его первая цифра не может быть 0, значит, она равна 2.

Таким образом, нам нужно искать число $N$ среди перестановок цифр $\{0, 2, 2\}$ на второй, третьей и четвертой позициях, с цифрой 2 в начале и 1 в конце. Возможные варианты для $N$: 20221, 22021, 22201.

Проверим каждое из этих чисел. Нам нужно найти, является ли какое-либо из них квадратом трехзначного числа $k$ из диапазона $[100, 316]$, оканчивающегося на 1 или 9.
Оценим корень: $140^2 = 19600$ и $150^2 = 22500$. Искомый корень $k$ должен лежать между 140 и 150. Возможные значения для $k$, оканчивающиеся на 1 или 9, в этом интервале — это 141 и 149.
Вычислим их квадраты:
$141^2 = 19881$. Это число не совпадает ни с одним из наших кандидатов.
$149^2 = (150-1)^2 = 150^2 - 2 \cdot 150 + 1 = 22500 - 300 + 1 = 22201$.

Мы получили, что число 22201 является квадратом числа 149. Проверим, удовлетворяет ли оно всем условиям задачи.
Число 22201 — пятизначное, состоит из цифр $\{2, 2, 2, 0, 1\}$ и является квадратом трехзначного числа 149. Все условия выполнены.
Остальные кандидаты (20221 и 22021) не являются квадратами чисел 141 или 149, а других подходящих кандидатов для корня в нужном диапазоне нет. Следовательно, они не являются полными квадратами.

Таким образом, мы нашли единственное число, удовлетворяющее заданным условиям.

Ответ: Да, такое число существует. Это число 22201, которое является квадратом числа 149 ($149^2 = 22201$).