Номер 228, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 228, страница 73.

Условие.

228. Решите уравнение:

а) $\frac{P_{n-2}}{P_{n-4}} = 90$;

б) $\frac{P_n - P_{n-1}}{P_{n-2}} = 16$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное уравнение: $ \frac{P_{n-2}}{P_{n-4}} = 90 $. В комбинаторике $ P_k $ обозначает число перестановок из $ k $ элементов, то есть $ P_k = k! $. Уравнение принимает вид $ \frac{(n-2)!}{(n-4)!} = 90 $. Область допустимых значений (ОДЗ) для $ n $ определяется из условий, что аргументы факториалов должны быть неотрицательными целыми числами: $ n-2 \ge 0 $ и $ n-4 \ge 0 $. Из этих неравенств следует, что $ n $ — целое число и $ n \ge 4 $.

Упростим левую часть уравнения, используя свойство факториала $ k! = k \cdot (k-1) \cdot \ldots \cdot 1 $. Можно записать $ (n-2)! = (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)! $. Подставим это выражение в уравнение:

$ \frac{(n-2)(n-3)(n-4)!}{(n-4)!} = 90 $

Сократив дробь на $ (n-4)! $ (это возможно, так как в ОДЗ $ (n-4)! \ne 0 $), получаем квадратное уравнение:

$ (n-2)(n-3) = 90 $

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$ n^2 - 3n - 2n + 6 = 90 $

$ n^2 - 5n - 84 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2 $

Найдем корни уравнения:

$ n_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12 $

$ n_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ n \ge 4 $). Корень $ n_1 = 12 $ удовлетворяет условию. Корень $ n_2 = -7 $ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: $ n = 12 $.

б) Исходное уравнение: $ \frac{P_n - P_{n-1}}{P_{n-2}} = 16 $. Используя определение $ P_k = k! $, перепишем уравнение в виде:

$ \frac{n! - (n-1)!}{(n-2)!} = 16 $

Область допустимых значений определяется условиями $ n \ge 0 $, $ n-1 \ge 0 $ и $ n-2 \ge 0 $. Отсюда следует, что $ n $ — целое число и $ n \ge 2 $.

Упростим числитель дроби, вынеся за скобки общий множитель $ (n-1)! $:

$ n! - (n-1)! = n \cdot (n-1)! - 1 \cdot (n-1)! = (n-1) \cdot (n-1)! $

Подставим это в уравнение:

$ \frac{(n-1)(n-1)!}{(n-2)!} = 16 $

Так как $ (n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)! $, то, подставив и сократив $ (n-2)! $, получим:

$ \frac{(n-1) \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = 16 $

$ (n-1)^2 = 16 $

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

$ n-1 = 4 \quad \Rightarrow \quad n_1 = 5 $

$ n-1 = -4 \quad \Rightarrow \quad n_2 = -3 $

Сравним найденные корни с ОДЗ ($ n \ge 2 $). Корень $ n_1 = 5 $ удовлетворяет условию. Корень $ n_2 = -3 $ не удовлетворяет условию и является посторонним.

Ответ: $ n = 5 $.