Номер 225, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 225, страница 73.

Условие.

225. Сколько элементов должно содержать множество, чтобы число всех перестановок из них было не больше:

а) 120;

б) 1000?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Пусть $n$ – это количество элементов в множестве. Число всех перестановок из $n$ элементов, обозначаемое $P_n$, вычисляется как факториал числа $n$, то есть $P_n = n!$. Факториал натурального числа $n$ – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По определению принимается, что $0! = 1$.Согласно условию задачи, число перестановок не должно быть больше 120. Это можно выразить неравенством:$n! \le 120$.

Найдём все целые неотрицательные значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству, вычисляя факториалы последовательно:
$0! = 1$ ($1 \le 120$ — верно)
$1! = 1$ ($1 \le 120$ — верно)
$2! = 1 \cdot 2 = 2$ ($2 \le 120$ — верно)
$3! = 2 \cdot 3 = 6$ ($6 \le 120$ — верно)
$4! = 6 \cdot 4 = 24$ ($24 \le 120$ — верно)
$5! = 24 \cdot 5 = 120$ ($120 \le 120$ — верно)
$6! = 120 \cdot 6 = 720$ ($720 \le 120$ — неверно)

Как видно из вычислений, неравенство выполняется при $n$ от 0 до 5 включительно. Следовательно, множество может содержать 0, 1, 2, 3, 4 или 5 элементов.

Ответ: множество должно содержать не более 5 элементов.

б)

Аналогично предыдущему пункту, условие, что число всех перестановок не больше 1000, записывается в виде неравенства:$n! \le 1000$.

Продолжим вычисление факториалов, чтобы найти максимальное значение $n$, удовлетворяющее этому условию. Мы уже знаем, что $5! = 120$ и $6! = 720$.
Все значения $n$ от 0 до 5 подходят, так как $5! = 120 \le 1000$.
Проверим следующие значения:
$6! = 720$ ($720 \le 1000$ — верно)
$7! = 720 \cdot 7 = 5040$ ($5040 \le 1000$ — неверно)

Таким образом, неравенство $n! \le 1000$ справедливо для всех целых $n$ от 0 до 6 включительно.

Ответ: множество должно содержать не более 6 элементов.