Номер 224, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 224, страница 73.

Условие.

224. Вычислите:
а) $\frac{8!}{6!}$;
б) $\frac{7!}{2! \cdot 4!}$;
в) $\frac{9!}{6! \cdot 3!}$;
г) $\frac{8! - 7!}{6!}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления выражения $\frac{8!}{6!}$ воспользуемся определением факториала, согласно которому $n!$ является произведением всех натуральных чисел от 1 до $n$. Мы можем представить $8!$ как $8! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 6! \cdot 7 \cdot 8$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{8!}{6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{6!}$
Сократим одинаковые множители $6!$ в числителе и знаменателе:
$7 \cdot 8 = 56$
Ответ: 56

б) Для вычисления выражения $\frac{7!}{2! \cdot 4!}$ распишем факториалы. Представим $7!$ как $7! = 4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7$. Значение $2!$ равно $1 \cdot 2 = 2$.
Подставим эти значения в дробь:
$\frac{7!}{2! \cdot 4!} = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 4!}$
Сократим $4!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{2}$
Выполним вычисления:
$\frac{210}{2} = 105$
Ответ: 105

в) Для вычисления выражения $\frac{9!}{6! \cdot 3!}$ представим $9!$ как $9! = 6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9$. Значение $3!$ равно $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{6! \cdot 6}$
Сократим $6!$:
$\frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{6}$
Можно выполнить сокращение дроби перед умножением. Сократим 6 и 9 на 3, а затем 8 и 2 (оставшееся от 6) на 2:
$7 \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{9}{3} = 7 \cdot 4 \cdot 3 = 84$
Ответ: 84

г) Для вычисления выражения $\frac{8! - 7!}{6!}$ сначала упростим числитель. Для этого вынесем общий множитель $7!$ за скобки. Учтем, что $8! = 8 \cdot 7!$.
$8! - 7! = (8 \cdot 7!) - (1 \cdot 7!) = (8 - 1) \cdot 7! = 7 \cdot 7!$
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{7 \cdot 7!}{6!}$
Представим $7!$ как $7! = 6! \cdot 7$ и сократим дробь:
$\frac{7 \cdot (6! \cdot 7)}{6!} = 7 \cdot 7 = 49$
Ответ: 49