Номер 227, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 227, страница 73.

Условие.

227. Сколько пятизначных четных чисел можно составить из цифр 3, 5, 7, 8, 9?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи нужно определить, сколько пятизначных четных чисел можно сформировать из набора цифр {3, 5, 7, 8, 9}. Поскольку в задаче дано 5 различных цифр для составления пятизначного числа, мы будем исходить из того, что каждая цифра в числе используется только один раз (то есть без повторений).

Число считается четным, если его последняя цифра является четной. В предложенном наборе цифр {3, 5, 7, 8, 9} только одна четная цифра — это 8. Следовательно, любое составленное четное число должно заканчиваться на 8.

Это накладывает ограничение на последнюю, пятую, позицию числа. На эту позицию можно поставить только одну цифру.

Количество вариантов для последней цифры (разряд единиц): 1 (только цифра 8).

После того как мы определили последнюю цифру, нам нужно расставить оставшиеся 4 цифры {3, 5, 7, 9} на оставшиеся 4 позиции (десятки тысяч, тысячи, сотни и десятки). Количество способов, которыми можно это сделать, является числом перестановок для 4 элементов.

Рассчитаем количество вариантов для каждой из оставшихся позиций:

1. На первую позицию (разряд десятков тысяч) можно поставить любую из 4-х оставшихся цифр.

2. На вторую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из 3-х оставшихся цифр.

3. На третью позицию (разряд сотен) можно поставить любую из 2-х оставшихся цифр.

4. На четвертую позицию (разряд десятков) можно поставить последнюю оставшуюся 1 цифру.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой из пяти позиций, используя комбинаторное правило произведения:

Количество чисел = (варианты для 1-й позиции) × (варианты для 2-й) × (варианты для 3-й) × (варианты для 4-й) × (варианты для 5-й)

Количество чисел = $4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1$

Это произведение равно факториалу числа 4:

$4! = 24$

Таким образом, из заданных цифр можно составить 24 различных пятизначных четных числа.

Ответ: 24