Номер 230, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 230, страница 73.

Условие.

230. Исследуйте, сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $x + y = n$, где $n \in N$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо найти количество пар натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющих уравнению $x + y = n$, где $n$ — заданное натуральное число. В российской математической традиции под натуральными числами $N$ понимают множество $\{1, 2, 3, ...\}$, поэтому мы ищем решения, для которых выполняются условия $x \ge 1$, $y \ge 1$ и $n \ge 1$.

Из уравнения $x + y = n$ выразим переменную $y$ через $x$: $y = n - x$.

Поскольку $y$ по условию является натуральным числом, должно выполняться неравенство $y \ge 1$. Подставив в него выражение для $y$, получим:

$n - x \ge 1$

Из этого неравенства следует ограничение для переменной $x$:

$x \le n - 1$

Так как $x$ также является натуральным числом, то $x \ge 1$. Объединив оба неравенства для $x$, получаем итоговый диапазон возможных значений:

$1 \le x \le n - 1$

Каждое целое значение $x$ из этого диапазона однозначно определяет значение $y$, при этом $y$ также будет натуральным числом. Следовательно, количество решений уравнения равно количеству целых чисел $x$, удовлетворяющих данному двойному неравенству. Проанализируем это количество в зависимости от значения $n$.

Случай 1: $n=1$.

Если $n=1$, то неравенство для $x$ принимает вид $1 \le x \le 1-1$, то есть $1 \le x \le 0$. Не существует ни одного целого числа, удовлетворяющего этому условию. Таким образом, при $n=1$ уравнение не имеет решений в натуральных числах. Это также следует из того, что минимальная сумма двух натуральных чисел равна $1+1=2$.

Случай 2: $n \ge 2$.

Если $n \ge 2$, то $n-1 \ge 1$. В этом случае диапазон $1 \le x \le n-1$ содержит целые числа. Возможные значения для $x$ — это $1, 2, 3, \dots, n-1$. Количество таких чисел равно $(n-1) - 1 + 1 = n-1$. Каждому такому значению $x$ будет соответствовать единственное натуральное значение $y=n-x$. Значит, при $n \ge 2$ уравнение имеет $n-1$ решений.

Например, для $n=4$ уравнение $x+y=4$ имеет $4-1=3$ решения: $(1, 3)$, $(2, 2)$ и $(3, 1)$.

Ответ: Если $n=1$, уравнение не имеет решений в натуральных числах. Если $n$ — натуральное число и $n \ge 2$, то уравнение имеет $n-1$ решений.