Номер 241, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 241, страница 76.

Условие.

241. Вычислите:

а) $A_8^3 - A_7^2$;

б) $P_5 - A_5^2$;

в) $P_7 : A_7^5$;

г) $A_{10}^5 : A_9^3$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи используются формулы комбинаторики:
Число размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1)$.
Число перестановок из $n$ элементов: $P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n$.

а) $A_8^3 - A_7^2$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя формулу для числа размещений.

1. $A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$.

2. $A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$.

3. Теперь найдем разность полученных значений:

$336 - 42 = 294$.

Ответ: 294.

б) $P_5 - A_5^2$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое.

1. $P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

2. $A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.

3. Найдем разность:

$120 - 20 = 100$.

Ответ: 100.

в) $P_7 : A_7^5$

Найдем частное от деления. Заметим, что $P_n = A_n^n$.

1. $P_7 = 7!$

2. $A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!}$

3. Выполним деление, подставив выражения:

$\frac{P_7}{A_7^5} = \frac{7!}{\frac{7!}{2!}} = 7! \cdot \frac{2!}{7!} = 2! = 1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2.

г) $A_{10}^5 : A_9^3$

Найдем частное от деления двух размещений.

1. $A_{10}^5 = \frac{10!}{(10-5)!} = \frac{10!}{5!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240$.

2. $A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.

3. Найдем частное:

$30240 : 504 = 60$.

Можно решить проще, не вычисляя значения полностью:

$\frac{A_{10}^5}{A_9^3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{9 \cdot 8 \cdot 7}$.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($9, 8, 7$):

$\frac{10 \cdot \sout{9} \cdot \sout{8} \cdot \sout{7} \cdot 6}{\sout{9} \cdot \sout{8} \cdot \sout{7}} = 10 \cdot 6 = 60$.

Ответ: 60.