Занимательные задачи 5, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - страница 69.

Условие.

5) Имеется 10 ключей от 10 дверей, но неизвестно, к какой двери какой ключ подходит. Какое количество попыток надо сделать, чтобы открыть все двери, если к каждой из них подходит один ключ?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для вычисления значения выражения $ \text{tg } 9^\circ - \text{tg } 27^\circ - \text{tg } 63^\circ + \text{tg } 81^\circ $ необходимо сгруппировать слагаемые и применить тригонометрические тождества.

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$ (\text{tg } 9^\circ + \text{tg } 81^\circ) - (\text{tg } 27^\circ + \text{tg } 63^\circ) $

Воспользуемся формулой приведения $ \text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha $. С ее помощью преобразуем $ \text{tg } 81^\circ $ и $ \text{tg } 63^\circ $:

$ \text{tg } 81^\circ = \text{tg}(90^\circ - 9^\circ) = \text{ctg } 9^\circ $

$ \text{tg } 63^\circ = \text{tg}(90^\circ - 27^\circ) = \text{ctg } 27^\circ $

Подставим полученные значения в сгруппированное выражение:

$ (\text{tg } 9^\circ + \text{ctg } 9^\circ) - (\text{tg } 27^\circ + \text{ctg } 27^\circ) $

Теперь упростим выражение вида $ \text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha $. Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получим:

$ \text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{\sin(2\alpha)} $

Применим эту формулу к каждой из скобок в нашем выражении:

$ \text{tg } 9^\circ + \text{ctg } 9^\circ = \frac{2}{\sin(2 \cdot 9^\circ)} = \frac{2}{\sin 18^\circ} $

$ \text{tg } 27^\circ + \text{ctg } 27^\circ = \frac{2}{\sin(2 \cdot 27^\circ)} = \frac{2}{\sin 54^\circ} $

Таким образом, исходное выражение эквивалентно разности:

$ \frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ} $

Используем еще одну формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $ для $ \sin 54^\circ $:

$ \sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ $

Выражение принимает вид:

$ \frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\cos 36^\circ} $

Значения $ \sin 18^\circ $ и $ \cos 36^\circ $ являются известными константами:

$ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $

$ \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4} $

Подставим эти значения в выражение и выполним вычисления:

$ \frac{2}{\frac{\sqrt{5}-1}{4}} - \frac{2}{\frac{\sqrt{5}+1}{4}} = \frac{8}{\sqrt{5}-1} - \frac{8}{\sqrt{5}+1} $

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $ (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 $:

$ \frac{8(\sqrt{5}+1) - 8(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{8\sqrt{5} + 8 - 8\sqrt{5} + 8}{4} = \frac{16}{4} = 4 $

Ответ: 4