Номер 216, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - номер 216, страница 68.

Условие.

216. Известно, что скорость вращения Земли вокруг Солнца равна 40 247 км/ч, а скорость вращения Луны вокруг Земли - 8568 км/ч. Представьте числа, выражающие эти скорости, в виде суммы наименьшего количества степеней числа 2 с неотрицательными целыми показателями.

Вращение Луны вокруг Земли

Решение.

Решение 2 (rus).

Скорость вращения Земли вокруг Солнца

Чтобы представить число 40 247 в виде суммы наименьшего количества степеней числа 2 с неотрицательными целыми показателями, нужно разложить это число по степеням двойки. Это эквивалентно переводу числа из десятичной системы счисления в двоичную. Мы будем последовательно находить наибольшую степень двойки, не превосходящую текущее число, и вычитать ее, пока не получим ноль.

1. Наибольшая степень двойки, меньшая или равная 40 247, это $2^{15} = 32768$.
Остаток: $40247 - 32768 = 7479$.

2. Для остатка 7479 наибольшая степень двойки — это $2^{12} = 4096$.
Остаток: $7479 - 4096 = 3383$.

3. Для остатка 3383 наибольшая степень двойки — это $2^{11} = 2048$.
Остаток: $3383 - 2048 = 1335$.

4. Для остатка 1335 наибольшая степень двойки — это $2^{10} = 1024$.
Остаток: $1335 - 1024 = 311$.

5. Для остатка 311 наибольшая степень двойки — это $2^8 = 256$.
Остаток: $311 - 256 = 55$.

6. Для остатка 55 наибольшая степень двойки — это $2^5 = 32$.
Остаток: $55 - 32 = 23$.

7. Для остатка 23 наибольшая степень двойки — это $2^4 = 16$.
Остаток: $23 - 16 = 7$.

8. Для остатка 7 наибольшая степень двойки — это $2^2 = 4$.
Остаток: $7 - 4 = 3$.

9. Для остатка 3 наибольшая степень двойки — это $2^1 = 2$.
Остаток: $3 - 2 = 1$.

10. Остаток 1 равен $2^0$.

Собрав все найденные степени двойки, получаем итоговую сумму.

Ответ: $40247 = 2^{15} + 2^{12} + 2^{11} + 2^{10} + 2^8 + 2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^1 + 2^0$

Скорость вращения Луны вокруг Земли

Аналогично представим число 8568 в виде суммы степеней двойки.

1. Наибольшая степень двойки, меньшая или равная 8568, это $2^{13} = 8192$.
Остаток: $8568 - 8192 = 376$.

2. Для остатка 376 наибольшая степень двойки — это $2^8 = 256$.
Остаток: $376 - 256 = 120$.

3. Для остатка 120 наибольшая степень двойки — это $2^6 = 64$.
Остаток: $120 - 64 = 56$.

4. Для остатка 56 наибольшая степень двойки — это $2^5 = 32$.
Остаток: $56 - 32 = 24$.

5. Для остатка 24 наибольшая степень двойки — это $2^4 = 16$.
Остаток: $24 - 16 = 8$.

6. Остаток 8 равен $2^3$.

Собрав все найденные степени двойки, получаем итоговую сумму.

Ответ: $8568 = 2^{13} + 2^8 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3$