Занимательные задачи 3, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - страница 69.

Условие.

3) Найдите значение выражения

$2^{11} - 2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6 - 2^5 - 2^4 - 2^3 - 2^2 - 2^0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

1) Для упрощения данного выражения будем последовательно, начиная с самого внутреннего радикала, использовать формулу косинуса половинного угла: $ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{2} $. Из этой формулы следует, что $ \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| $.

Рассмотрим выражение под самым внутренним корнем, которое находится под вторым корнем: $ \frac{1}{2}\left(1 + \cos\frac{\alpha}{2}\right) $.

Применим к нему формулу половинного угла, приняв $ x = \frac{\alpha}{2} $:

$ \frac{1}{2}\left(1 + \cos\frac{\alpha}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{\alpha/2}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{4}\right) $.

Теперь исходное выражение можно переписать, подставив найденное значение:

$ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\cos^2\left(\frac{\alpha}{4}\right)}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left|\cos\left(\frac{\alpha}{4}\right)\right|} $.

По условию задачи $ \alpha $ — острый угол, что означает $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $.

Тогда для угла $ \frac{\alpha}{4} $ справедливо неравенство: $ 0^\circ < \frac{\alpha}{4} < \frac{90^\circ}{4} $, или $ 0^\circ < \frac{\alpha}{4} < 22.5^\circ $. Угол $ \frac{\alpha}{4} $ находится в первой координатной четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos\left(\frac{\alpha}{4}\right) > 0 $ и $ \left|\cos\left(\frac{\alpha}{4}\right)\right| = \cos\left(\frac{\alpha}{4}\right) $.

Выражение принимает вид:

$ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{4}\right)} $.

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки под корнем:

$ \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{4}\right)\right)} $.

Снова применим формулу косинуса половинного угла, на этот раз для $ x = \frac{\alpha}{4} $:

$ \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{4}\right)\right)} = \sqrt{\cos^2\left(\frac{\alpha/4}{2}\right)} = \sqrt{\cos^2\left(\frac{\alpha}{8}\right)} = \left|\cos\left(\frac{\alpha}{8}\right)\right| $.

Определим знак $ \cos\left(\frac{\alpha}{8}\right) $. Так как $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $, то $ 0^\circ < \frac{\alpha}{8} < \frac{90^\circ}{8} $, или $ 0^\circ < \frac{\alpha}{8} < 11.25^\circ $. Этот угол также находится в первой четверти, поэтому его косинус положителен: $ \cos\left(\frac{\alpha}{8}\right) > 0 $.

Таким образом, $ \left|\cos\left(\frac{\alpha}{8}\right)\right| = \cos\left(\frac{\alpha}{8}\right) $.

Ответ: $ \cos\left(\frac{\alpha}{8}\right) $