Занимательные задачи 2, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - страница 69.

Условие.

2) Кусок ткани разрезали на 4 части, затем одну из них – еще на 4 части. Одну из вновь полученных частей снова разрезали на 4 части и так далее. Могло ли получиться всех кусков: а) 36; б) 35?

Решение.

Решение 2 (rus).

2) Для того чтобы определить, существует ли такое значение $x$, при котором верно данное равенство, необходимо упростить обе его части и проверить, может ли оно выполняться.

Сначала преобразуем левую часть равенства: $(1 + \text{tg}^2x)^{-1}$. Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$, которое справедливо для всех $x$, при которых $\text{tg}x$ определен ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$), получаем:

$(1 + \text{tg}^2x)^{-1} = \left(\frac{1}{\cos^2x}\right)^{-1} = \cos^2x$.

Далее преобразуем правую часть равенства: $\sqrt{2^{-4} + 2^{-3} + 2^{-2} + 2^{-1} + 2^0}$. Вычислим значение выражения под корнем, представив степени с отрицательными показателями в виде дробей:

$2^{-4} + 2^{-3} + 2^{-2} + 2^{-1} + 2^0 = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 16:

$\frac{1}{16} + \frac{2}{16} + \frac{4}{16} + \frac{8}{16} + \frac{16}{16} = \frac{1 + 2 + 4 + 8 + 16}{16} = \frac{31}{16}$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{31}{16}} = \frac{\sqrt{31}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{31}}{4}$.

После упрощения обеих частей исходное равенство принимает вид:

$\cos^2x = \frac{\sqrt{31}}{4}$.

Область значений функции $y = \cos^2x$ есть отрезок $[0, 1]$, так как для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$, и, следовательно, $0 \le \cos^2x \le 1$.

Для того чтобы равенство имело решение, значение в правой части должно принадлежать этой области значений. Оценим значение выражения $\frac{\sqrt{31}}{4}$. Поскольку $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то справедливо неравенство $5 < \sqrt{31} < 6$.

Разделим все части этого двойного неравенства на 4:

$\frac{5}{4} < \frac{\sqrt{31}}{4} < \frac{6}{4}$

$1.25 < \frac{\sqrt{31}}{4} < 1.5$

Таким образом, значение $\frac{\sqrt{31}}{4}$ больше 1. Поскольку $\cos^2x$ не может принимать значения, большие 1, уравнение $\cos^2x = \frac{\sqrt{31}}{4}$ не имеет действительных решений.

Ответ: нет, такого значения $x$ не существует.