Номер 214, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - номер 214, страница 68.

Условие.

214. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых:

а) используется по одному разу одна из цифр 3, 4, 5;

б) используются только цифры 1, 2, 6, 7 без их повторения?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

В данной задаче требуется найти количество двузначных чисел, в записи которых используется ровно одна из цифр из набора {3, 4, 5}, и эта цифра встречается в числе только один раз.

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. Условие означает, что одна из цифр числа должна принадлежать множеству $S = \{3, 4, 5\}$, а другая — нет. Множество всех остальных цифр: $S' = \{0, 1, 2, 6, 7, 8, 9\}$.

Разобьем задачу на два случая:

1. Первая цифра (десятки) принадлежит множеству $S$, а вторая (единицы) — множеству $S'$.

Для первой цифры есть 3 варианта выбора (3, 4 или 5).

Для второй цифры есть 7 вариантов выбора (0, 1, 2, 6, 7, 8 или 9).

Общее количество чисел в этом случае равно произведению вариантов: $3 \times 7 = 21$.

2. Первая цифра (десятки) принадлежит множеству $S'$, а вторая (единицы) — множеству $S$.

Для первой цифры есть 6 вариантов выбора (1, 2, 6, 7, 8 или 9), так как двузначное число не может начинаться с нуля.

Для второй цифры есть 3 варианта выбора (3, 4 или 5).

Общее количество чисел в этом случае равно: $6 \times 3 = 18$.

Чтобы найти общее количество таких чисел, сложим результаты обоих случаев:

$21 + 18 = 39$.

При таком подходе условие "используется по одному разу" выполняется автоматически, так как числа вида 33, 44, 55 не рассматриваются (в них обе цифры из множества $S$).

Ответ: 39.

б)

Требуется найти количество различных двузначных чисел, в записи которых используются только цифры 1, 2, 6, 7 без их повторения.

Это задача нахождения числа размещений без повторений.

Для выбора первой цифры (разряд десятков) у нас есть 4 варианта (1, 2, 6 или 7).

Так как цифры не могут повторяться, после выбора первой цифры для второй (разряд единиц) останется $4 - 1 = 3$ варианта.

Общее количество возможных чисел находим по правилу умножения:

$4 \times 3 = 12$.

Также можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=4$ (количество данных цифр) и $k=2$ (количество цифр в числе):

$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$.

Ответ: 12.