Номер 217, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - номер 217, страница 69.

Условие.

217. a) У Бексултана две лошади, черной и гнедой масти; два седла, коричневое и желтое; две пары шпор, длинные и короткие; два подсумка, большой и малый. Сколькими способами он может осуществить полную экипировку для конного путешествия? Решите задачу с использованием графа.

б) Сколькими способами можно разменять купюру номиналом 10 000 тенге на купюры в 5000, 2000 и 1000 тенге?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения общего числа способов полной экипировки можно воспользоваться правилом умножения в комбинаторике. Также, согласно условию, задачу можно решить с помощью построения графа, который в данном случае будет являться деревом вариантов.

У Бексултана есть четыре категории предметов, и для каждой из них есть по два варианта выбора:

1. Лошадь: 2 варианта (черная или гнедая).
2. Седло: 2 варианта (коричневое или желтое).
3. Шпоры: 2 варианта (длинные или короткие).
4. Подсумок: 2 варианта (большой или малый).

Чтобы построить граф, мы начинаем с одной начальной точки. Из нее проводим 2 ветви, соответствующие выбору одной из двух лошадей. От конца каждой из этих ветвей проводим еще по 2 ветви, соответствующие выбору седла. На этом этапе у нас уже будет $2 \times 2 = 4$ различных пути. Затем от конца каждого из этих четырех путей мы проводим по 2 ветви для выбора шпор, получая $4 \times 2 = 8$ путей. Наконец, от каждого из восьми концов мы проводим еще по 2 ветви для выбора подсумка.

Общее количество всех возможных путей в графе (или "листьев" в дереве вариантов) будет равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$N = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

Каждый такой путь от начала до конца графа представляет собой один уникальный способ полной экипировки.

Ответ: 16.

б) Для решения этой задачи нужно найти количество целочисленных неотрицательных решений уравнения, которое описывает все возможные комбинации купюр.

Пусть $x$ — количество купюр номиналом 5000 тенге, $y$ — количество купюр номиналом 2000 тенге, а $z$ — количество купюр номиналом 1000 тенге. Тогда мы можем составить следующее уравнение:

$5000x + 2000y + 1000z = 10000$

Разделим обе части уравнения на 1000 для упрощения:

$5x + 2y + z = 10$

Теперь найдем все возможные комбинации целых неотрицательных чисел $(x, y, z)$, удовлетворяющих этому уравнению. Будем перебирать варианты, начиная с переменной с наибольшим коэффициентом ($x$).

Случай 1: $x = 2$
Если взять две купюры по 5000 тенге, то $5(2) + 2y + z = 10 \implies 10 + 2y + z = 10 \implies 2y + z = 0$.
Так как $y$ и $z$ не могут быть отрицательными, единственное решение здесь: $y = 0, z = 0$.
Это 1 способ: (2 × 5000).

Случай 2: $x = 1$
Если взять одну купюру 5000 тенге, то $5(1) + 2y + z = 10 \implies 2y + z = 5$.
Возможные значения для $y$:
- если $y = 0$, то $z = 5$. Комбинация: 1×5000, 5×1000.
- если $y = 1$, то $2(1) + z = 5 \implies z = 3$. Комбинация: 1×5000, 1×2000, 3×1000.
- если $y = 2$, то $2(2) + z = 5 \implies z = 1$. Комбинация: 1×5000, 2×2000, 1×1000.
При $y \ge 3$ значение $2y$ будет больше 5, что невозможно.
Итого 3 способа.

Случай 3: $x = 0$
Если не использовать купюры по 5000 тенге, то $5(0) + 2y + z = 10 \implies 2y + z = 10$.
Возможные значения для $y$:
- если $y = 0$, то $z = 10$. Комбинация: 10×1000.
- если $y = 1$, то $2(1) + z = 10 \implies z = 8$. Комбинация: 1×2000, 8×1000.
- если $y = 2$, то $2(2) + z = 10 \implies z = 6$. Комбинация: 2×2000, 6×1000.
- если $y = 3$, то $2(3) + z = 10 \implies z = 4$. Комбинация: 3×2000, 4×1000.
- если $y = 4$, то $2(4) + z = 10 \implies z = 2$. Комбинация: 4×2000, 2×1000.
- если $y = 5$, то $2(5) + z = 10 \implies z = 0$. Комбинация: 5×2000.
При $y \ge 6$ значение $2y$ будет больше 10, что невозможно.
Итого 6 способов.

Суммируем количество способов из всех случаев: $1 + 3 + 6 = 10$.

Ответ: 10.