Номер 215, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - номер 215, страница 68.

Условие.

215. Сколько решений имеет уравнение $x + y = 2018$:

а) в натуральных числах;

б) в целых неотрицательных числах?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Требуется найти количество пар натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $x + y = 2018$. Натуральные числа — это целые положительные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Выразим одну переменную через другую, например, $y = 2018 - x$. Так как $y$ должно быть натуральным числом, то должно выполняться условие $y \ge 1$. Подставим выражение для $y$: $2018 - x \ge 1$. Решив это неравенство относительно $x$, получаем $x \le 2017$. Поскольку $x$ также является натуральным числом, то $x \ge 1$. Таким образом, $x$ может принимать любое целое значение от 1 до 2017 включительно. Каждому такому значению $x$ соответствует единственное значение $y$, которое также будет натуральным. Например:

• Если $x = 1$, то $y = 2018 - 1 = 2017$.
• Если $x = 2$, то $y = 2018 - 2 = 2016$.
• ...
• Если $x = 2017$, то $y = 2018 - 2017 = 1$.

Количество возможных значений для $x$ равно $2017 - 1 + 1 = 2017$. Следовательно, существует 2017 пар $(x, y)$, удовлетворяющих условию.
Ответ: 2017

б) Требуется найти количество пар целых неотрицательных чисел $(x, y)$ таких, что $x + y = 2018$. Целые неотрицательные числа — это $0, 1, 2, 3, \ldots$, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Снова выразим $y$ через $x$: $y = 2018 - x$. Из условия $y \ge 0$ следует, что $2018 - x \ge 0$, откуда $x \le 2018$. Учитывая, что $x$ также является целым неотрицательным числом ($x \ge 0$), $x$ может принимать любое целое значение от 0 до 2018 включительно. Каждому такому значению $x$ соответствует единственное неотрицательное целое значение $y$. Например:

• Если $x = 0$, то $y = 2018 - 0 = 2018$.
• Если $x = 1$, то $y = 2018 - 1 = 2017$.
• ...
• Если $x = 2018$, то $y = 2018 - 2018 = 0$.

Количество возможных значений для $x$ равно $2018 - 0 + 1 = 2019$. Следовательно, существует 2019 пар $(x, y)$, удовлетворяющих условию.
Ответ: 2019