Номер 493, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 493, страница 141.

Условие.

493. В арифметической прогрессии $a_3 + a_{10} + a_{18} + a_{25} = 10$. Найдите $S_{27}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ – первый член прогрессии, а $d$ – её разность. В условии дано равенство $a_3 + a_{10} + a_{18} + a_{25} = 10$.

Выразим каждый член из этого равенства через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
$a_{18} = a_1 + (18-1)d = a_1 + 17d$
$a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$

Теперь подставим полученные выражения в исходное равенство и упростим его:
$(a_1 + 2d) + (a_1 + 9d) + (a_1 + 17d) + (a_1 + 24d) = 10$
Сгруппируем члены с $a_1$ и с $d$:
$4a_1 + (2+9+17+24)d = 10$
$4a_1 + 52d = 10$
Разделим обе части уравнения на 2:
$2a_1 + 26d = 5$

Нам необходимо найти сумму первых 27 членов прогрессии, $S_{27}$. Формула для суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Применим эту формулу для $n=27$:
$S_{27} = \frac{2a_1 + (27-1)d}{2} \cdot 27 = \frac{2a_1 + 26d}{2} \cdot 27$

Из предыдущих шагов мы знаем, что выражение $2a_1 + 26d$ равно 5. Подставим это значение в формулу для $S_{27}$:
$S_{27} = \frac{5}{2} \cdot 27 = \frac{135}{2} = 67,5$

Ответ: 67,5