Номер 494, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 494, страница 141.

Условие.

494. Двенадцатый член арифметической прогрессии равен –7. Найдите сумму первых двадцати трех ее членов.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$. По условию задачи, ее двенадцатый член $a_{12} = -7$.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:$a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — ее разность.

Используя эту формулу для двенадцатого члена, получаем:$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$.Так как $a_{12} = -7$, то мы имеем равенство:$a_1 + 11d = -7$.

Требуется найти сумму первых двадцати трех членов прогрессии, $S_{23}$.Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим в эту формулу $n=23$:$S_{23} = \frac{2a_1 + (23-1)d}{2} \cdot 23$.

Упростим выражение в числителе:$S_{23} = \frac{2a_1 + 22d}{2} \cdot 23$.

Вынесем общий множитель 2 из числителя дроби:$S_{23} = \frac{2(a_1 + 11d)}{2} \cdot 23$.

Сократив на 2, получим:$S_{23} = (a_1 + 11d) \cdot 23$.

Ранее мы установили, что выражение в скобках $a_1 + 11d$ равно $a_{12}$, то есть -7. Подставим это значение в формулу для суммы:$S_{23} = -7 \cdot 23$.

Выполним умножение:$S_{23} = -161$.

Ответ: -161