Номер 496, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 496, страница 142.

Условие.

496.

а) За сколько часов велосипедист проедет 90 км, если он проезжает за первый час 20 км, а за каждый последующий час – на 2 км меньше?

б) В цирке в одном из секторов для зрителей кресла установили так, что в каждом следующем ряду на одно место больше, чем в предыдущем. Сколько мест в этом секторе, если в его первом ряду 8 кресел, а рядов 22?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где каждый член — это расстояние, которое велосипедист проезжает за очередной час. Нам нужно найти количество часов (количество членов прогрессии $n$), за которое суммарное расстояние (сумма прогрессии $S_n$) достигнет 90 км.

Параметры арифметической прогрессии:

Первый член прогрессии $a_1$ (расстояние за первый час) равен 20 км.

Разность прогрессии $d$ равна -2 км, так как каждый следующий час велосипедист проезжает на 2 км меньше.

Сумма прогрессии $S_n$ (общее расстояние) равна 90 км.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в формулу известные нам значения:

$90 = \frac{2 \cdot 20 + (-2)(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь решим это уравнение относительно $n$:

$90 = \frac{40 - 2n + 2}{2} \cdot n$

$90 = \frac{42 - 2n}{2} \cdot n$

$90 = (21 - n)n$

$90 = 21n - n^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$n^2 - 21n + 90 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно 90, а их сумма равна 21. Подбором находим корни: $n_1 = 6$ и $n_2 = 15$.

В данной задаче оба корня положительны, но нам нужно выбрать тот, который имеет физический смысл. Корень $n=6$ означает, что велосипедист проедет 90 км за 6 часов. Корень $n=15$ предполагает, что скорость велосипедиста после 11-го часа станет отрицательной (он поедет обратно) и снова окажется на отметке 90 км. Так как в задаче спрашивается, за сколько он проедет 90 км, имеется в виду первое достижение этой отметки.

Проверим решение для $n=6$. Расстояния по часам: 20, 18, 16, 14, 12, 10. Сумма: $20+18+16+14+12+10 = 90$ км. Решение верное.

Ответ: 6 часов.

б) В этой задаче количество мест в рядах также представляет собой арифметическую прогрессию.

Параметры арифметической прогрессии:

Первый член прогрессии $a_1$ (места в первом ряду) равен 8.

Разность прогрессии $d$ равна 1, так как в каждом следующем ряду на одно место больше.

Количество членов прогрессии $n$ (число рядов) равно 22.

Нам необходимо найти общее количество мест, то есть сумму $S_{22}$ этой прогрессии.

Используем ту же формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения:

$S_{22} = \frac{2 \cdot 8 + 1 \cdot (22-1)}{2} \cdot 22$

Выполним вычисления:

$S_{22} = \frac{16 + 21}{2} \cdot 22$

$S_{22} = \frac{37}{2} \cdot 22$

$S_{22} = 37 \cdot 11$

$S_{22} = 407$

Таким образом, всего в секторе 407 мест.

Ответ: 407 мест.