Номер 498, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 498, страница 142.

Условие.

498. Три друга, возраст которых составляет арифметическую прогрессию с разностью 1, договорились дарить каждому на день рождения столько марок, сколько лет имениннику. Через 4 года общее количество марок у друзей стало равно 114. Сколько лет было друзьям на момент их договоренности?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть в момент договоренности возраст среднего из трех друзей был $x$ лет. Поскольку их возраст составляет арифметическую прогрессию с разностью 1, то возрасты друзей можно записать как $x-1$, $x$ и $x+1$ лет.

Договоренность действовала 4 года. За этот период у каждого из них было 4 дня рождения. В каждый свой день рождения именинник получает столько марок, сколько лет ему исполняется. Рассчитаем общее количество марок, которое друзья соберут за 4 года.

Первый друг (изначальный возраст $x-1$ лет) получит марки в возрасте $x$, $x+1$, $x+2$ и $x+3$ лет. Сумма полученных им марок: $S_1 = x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 4x + 6$.

Второй друг (изначальный возраст $x$ лет) получит марки в возрасте $x+1$, $x+2$, $x+3$ и $x+4$ лет. Сумма полученных им марок: $S_2 = (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) = 4x + 10$.

Третий друг (изначальный возраст $x+1$ лет) получит марки в возрасте $x+2$, $x+3$, $x+4$ и $x+5$ лет. Сумма полученных им марок: $S_3 = (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) = 4x + 14$.

Общее количество марок, $S_{общ}$, равно сумме марок, полученных каждым другом: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = (4x + 6) + (4x + 10) + (4x + 14) = 12x + 30$.

По условию задачи, через 4 года общее количество марок стало равно 114. Составим и решим уравнение:

$12x + 30 = 114$

$12x = 114 - 30$

$12x = 84$

$x = \frac{84}{12}$

$x = 7$

Мы нашли возраст среднего друга на момент договоренности — 7 лет. Теперь найдем возраст остальных друзей:

Возраст младшего друга: $x-1 = 7-1 = 6$ лет.

Возраст старшего друга: $x+1 = 7+1 = 8$ лет.

Таким образом, на момент договоренности друзьям было 6, 7 и 8 лет.

Ответ: на момент договоренности друзьям было 6, 7 и 8 лет.