Номер 505, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 505, страница 143.

Условие.

505. Докажите, что если S есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3, ...$, то $\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$. (Задача французского математика П. Ферма (1601–1665).

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $b_1, b_2, b_3, \ldots$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, для такой прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Нам необходимо доказать тождество: $\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$.

Для этого преобразуем левую и правую части равенства и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

1. Преобразование левой части.

Подставим формулу для суммы $S$ в выражение $\frac{S}{S - b_1}$:

$\frac{S}{S - b_1} = \frac{\frac{b_1}{1 - q}}{\frac{b_1}{1 - q} - b_1}$

Сначала упростим знаменатель дроби, приведя вычитаемое к общему знаменателю:

$\frac{b_1}{1 - q} - b_1 = \frac{b_1 - b_1(1 - q)}{1 - q} = \frac{b_1 - b_1 + b_1q}{1 - q} = \frac{b_1q}{1 - q}$

Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:

$\frac{\frac{b_1}{1 - q}}{\frac{b_1q}{1 - q}} = \frac{b_1}{1 - q} \cdot \frac{1 - q}{b_1q}$

Сократив общие множители $b_1$ и $(1-q)$ (это возможно, так как для нетривиальной прогрессии $b_1 \neq 0$ и по условию $|q|<1$ следует, что $q \neq 1$), получим:

$\frac{S}{S - b_1} = \frac{1}{q}$

2. Преобразование правой части.

Рассмотрим выражение $\frac{b_1}{b_2}$.

По определению геометрической прогрессии, второй член $b_2$ связан с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ следующим соотношением: $b_2 = b_1 \cdot q$.

Подставим это выражение в правую часть доказываемого тождества:

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{b_1}{b_1 \cdot q} = \frac{1}{q}$

3. Заключение.

Мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $\frac{1}{q}$.

$\frac{S}{S - b_1} = \frac{1}{q}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{q}$

Следовательно, равенство $\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}$ является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано путем преобразования обеих его частей к одному и тому же выражению $\frac{1}{q}$.